定积分应用题

定积分应用题2021/5/911.抛物线y2=4x及直线x=3围成的图形绕x轴旋转一周而成的立体体积V=[].(A)18;(B)18

;(C)243/8;(D)243/8.2.半径为R的半球形水池装满了水，现将水全部抽出，需要做的功W=[](A)(B)(C)(D)3.曲线上的弧长L为[].(A)(B)(C)(D)BCA一.选择题2021/5/925.曲线与x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为[].(A);(B);(C);(D).6.矩形闸门的宽am，高hm，将其垂直的放入水中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力P[].(A);(B);(C);(D).4.曲线y=x(x-1)(x-2)与x轴所围成图形的面积

为[].(A)(B)(C)(D)CBA2021/5/93二、填空题3.若f(x)有一个原函数tanx,则4.若f(x)为[0，+∝]上的连续函数，且2021/5/946.由抛物线y=x2与直线y=2所围成的图形的面积A=7.曲线xy=1与直线x=1,x=2,y=0所围成图形绕y轴旋转一周的立体的体积V=8.曲线弧y=x2介于x=0,x=1之间长度的定积分表达式s=2021/5/95二、典型例题例1解由对称性,有2021/5/96由对称性,有2021/5/97由对称性,有2021/5/98例2

求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:2021/5/99解利用对称性知2021/5/910例4.求心形线的全长解由对称性2021/5/911例5.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积2021/5/912例6.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:

设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y

轴的交点分别为所指面积2021/5/913且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点2021/5/914例7.

设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a

为何值时,所围图形绕x

轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得2021/5/915又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V

取最小值.2021/5/916例8.

半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度2021/5/917因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”2021/5/918例9解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有2021/5/9192021/5/920故所求速度为2021/5/921故将满池水全部提升到池沿高度所需功为2021/5/922例10解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为2021/5/9232021/5/924例12.

设有半径为R

的半球形容器如图.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0<h<R)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?

解:

过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t

秒容器内水深为h,2021/5/925(1)求由题设,经过t

秒后容器内的水量为而高为

h

的球缺的体积为半球可看作半圆绕y

轴旋转而成体积元素:故有两边对t