河南省洛阳市第四十中学高三数学文期末试题含解析

河南省洛阳市第四十中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在棱长为6的正方体中,M是BC的中点,点P是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是(

)A.36

B.

C.24

D.参考答案：B

2.下列选项中，说法正确的是（

）A．若，则B．向量，（）垂直的充要条件是C．命题“，”的否定是“，”D．已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题参考答案：D3.设复数且，则复数z的虚部为A. B. C. D.参考答案：B4.命题：，直线与双曲线有交点，则下列表述正确的是（

）A．是假命题，其否定是：，直线与双曲线有交点B．是真命题，其否定是：，直线与双曲线无交点C．是假命题，其否定是：，直线与双曲线无交点D．是真命题，其否定是：，直线与双曲线无交点参考答案：B考点：1、含有一个量词的命题的否定；2、双曲线的几何性质．5.已知函数，则满足的实数x的取值范围是（

）A.(－∞,0] B.(3,+∞) C.[1,3) D.(0,1)参考答案：B【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，可得当时，，当时，函数在单调递增，且，要使得，则，解得，即不等式的解集为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则（）A.－2 B. C.3 D.参考答案：D【分析】由题意利用函数奇偶性求得的周期为3，再利用函数的周期性求得的值．【详解】解：已知定义域为的奇函数满足，，的周期为3.时，，,故选D．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．7.已知集合，集合，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C8.已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】建立直角坐标系，求出向量，再根据向量数量积求结果.【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，则,所以，故选B【点睛】本题考查利用坐标求向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知等差数列{an}的公差为2，若成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则等于(

)A.-8 B.-6 C.0 D.10参考答案：C分析：由成等比数列，可得再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．详解：∵4成等比数列，∴，化为解得则故选D．点睛：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（

）

A．47,45,56

B．46,45,53

C．46,45,56

D．45,47,53参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，若不等式f（x）＞2的解集为（2，4），则实数m的值为

．参考答案：3【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m=3，故答案为3．12.已知圆与抛物线的准线相切，则

．参考答案：13. .参考答案：14.在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则

.参考答案：略15.已知边长为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，二面角的余弦值为，则该球的体积为_______．参考答案：【分析】先由题意得到与均为等边三角形，取中点，连结，，在，上分别取，使得，，得到分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，得到平面，平面，再由题中数据，结合二倍角公式、勾股定理以及球的体积公式，即可求出结果.【详解】因为空间四边形的各边长均为，又，所以与均为等边三角形；取中点，连结，，在，上分别取，使得，，则分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，则平面，平面；因为二面角的余弦值为，即，由题意，所以，因为，所以，因此空间四边形ABCD外接球半径为所以，该球的体积为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，结合题中条件即可求解，属于常考题型.16.（4分）（2015?丽水一模）如图，△PAB和△QAC是两个全等的直角三角形，其中PA=AC=2AB=2CQ=4，∠PBA=∠AQC=90°．将△PAB绕AB旋转一周，当P，Q两点间的距离在[，2]内变化时，动点P所形成的轨迹的长度是．参考答案：π【考点】：轨迹方程．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意，把问题转化为求圆锥地面上两点间的弧长问题，由题意求出圆心角NOR，求出对应的劣弧长乘以2得答案．解：由题意，延长CQ交BP于P，以PB为底面圆的半径，CP为母线作出圆锥如图（B与O重合），结合题意可知OC=2，Q为CP的中点，过Q作QM垂直于底面交OP于M，则QM=1，由QN=，得MN=3，又OP=，则OM=，ON=，∴∠OMN为直角，则sin，；由QR=，QM=1，得MR=，由OM=，OR=2，MR=，可得M，O，R共线，∴．∴动点P所形成的轨迹的长度是．故答案为：．【点评】：本题考查了轨迹方程，考查了空间中的位置与距离，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数，

使得对任意的实数x成立，则称f(x)是回旋函数．

给出下列四个命题：

①常值函数为回旋函数的充要条件是t=-1;

②若为回旋函数，则t>l;

③函数不是回旋函数；

④若f(x)是t=2的回旋函数，则f(x)在[0,4030]上至少有2015个零点．

其中为真命题的是_________（写出所有真命题的序号）．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；

（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率。参考答案：解析：（Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为事件A，摸出两个球共有方法

种，其中，两球一白一黑有种．

……3分∴．

答:从口袋中摸出两个球恰好颜色不同的概率是.

…………６分（Ⅱ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为事件B.摸出一球为白球的概率是，摸出一球为黑球的概率是，…………8分∴＝

…………………12分答：“有放回摸两次，颜色不同”的概率为0.48．19.设函数f（x）=x．（1）当时，求f（x）的最大值；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，，且C为锐角，c=，求a﹣b的取值范围．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求最大值．（2）由已知可求，结合C为锐角，可求C，利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a﹣b=2sin（A﹣），结合范围，可求，利用正弦函数的性质可求其范围．【解答】解：（1），∵，∴，∴当时，．（2），∴，又∵C为锐角，∴．∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB，又，∴，∴，又∵，∴，∴，即．20.设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件，试求Sn的最大值．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设{an}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，代入求和公式Sn=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以?=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{an}为等差数列”．当n=1时，=显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得，=（﹣），即nan﹣（n﹣1）an+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣2）an=a1④，即2an=an﹣1+an+1．所以{an}为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，所以r≤．设{an}的公差为d，则an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以an=rsinθ﹣，Sn==r≤?=，所以Sn的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．21.已知集合，若求m的取值范围.参考答案：解：得B=设函数由可知解得另解：对于恒成立通过反解m来做.22.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组，，第五组右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（Ⅱ）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知，求事件“”的概