安徽省安庆市北中高级中学高三数学理模拟试卷含解析

安徽省安庆市北中高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B解：，=，当且仅当时等号成立取最值2.圆x2+y2﹣2x﹣5=0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(

)A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣y+1=0参考答案：A【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．【专题】计算题；函数思想；转化思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：，即：x+y﹣1=0，与公共弦垂直且平分．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力．3.设，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1

(B)3

(C)4

(D)8参考答案：C因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。5.“”是“角是第一象限的角”的（

）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：，故“”是“角是第一象限的角”的必要而不充分条件考点：充分条件、必要条件6.如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为，中位数分别为，则A. B.C. D.参考答案：A【知识点】茎叶图、平均数、中位数I2由茎叶图易知：，则，，故，故选A。【思路点拨】由茎叶图易判断中位数的大小，再利用平均数公式比较大小。7.设全集U=R，集合,，则集合AB=A．

B．

C．

D．参考答案：C8.下列函数中哪个与函数y=x相等（）A．y= B．y= C．y= D．y=参考答案：D考点： 判断两个函数是否为同一函数．专题： 函数的性质及应用．分析： 确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．解答： 解：A．y=的定义域是{x|x≥0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．B．y=的定义域是{x|x≠0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数．C．y==|x|与y=x的对应法则、值域皆不同，故不是同一函数．D．y==x与y=x是同一函数．故选：D．点评： 本题考查了函数的定义，依据三要素可判断出两个函数是否是同一函数．9.已知实数满足条件，则目标函数的最大值为（

）A．

B．

C．0

D．1参考答案：D略10.设全集U={x|ex＞1}，函数f（x）=的定义域为A，则?UA为（）A．（0，1] B．（0，1） C．（1，+∞） D．[0，1）．参考答案：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是．参考答案：-2略12.已知双曲线的左准线与x轴的交点为点P，则点P到其中一条渐近线的距离为_____．参考答案：【分析】先求出左准线方程，从而得到的坐标，利用公式可计算它到渐近线的距离.【详解】，左准线方程为，所以，又渐近线方程为：，所以到渐近线的距离为，填.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，要求能从标准方程中得到，并计算出准线方程、渐近线方程等，此类问题是基础题.13.已知，则的大小关系为____________.参考答案：略14.已知实数满足，则的最小值是

．参考答案：915.已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，则(?RB)∩A＝________.参考答案：略16.比较lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是

，最小的是

．参考答案：lg2，lg（lg2）．由lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，即可得出大小关系．解：∵lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，∴最大的是lg2，最小的是lg（lg2）．故答案分别为：lg2，lg（lg2）．17.不等式的解集是

．参考答案：{x|0＜x＜1}考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．解答： 解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(1)求证:；(2)求点到平面的距离.

参考答案：【知识点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．菁G4G5(1)见解析；(2)

解析：(Ⅰ)方法一:取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,

所以,,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以.

方法二:连结,依题意可知△,△均为正三角形,

又为的中点,所以,,又,平面,平面,所以平面,

又平面,所以.

(Ⅱ)当点为棱的中点时,四点共面,证明如下:

取棱的中点,连结,,又为的中点,所以,

在菱形中,所以,所以四点共面.

(Ⅲ)点到平面的距离即点到平面的距离,

由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,

平面,所以平面,即为三棱锥的体高.在中,,,

在中,,,边上的高,

所以的面积,

设点到平面的距离为,由得

,又,所以,

解得,

所以点到平面的距离为.………………12分【思路点拨】（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD的体高，由VD﹣PAC=VP﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．19.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.

有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．（1）证明（，是的多项式），并求的值；（2）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．（3）设是不超过20的正整数，当时，对于（2）中的，求使得不等式成立的所有的值．参考答案：（1）由题意知．，同理，，，…，．又因为成等差数列，所以.故，即是公差为的等差数列．所以，．令，则，此时．（3）由（2）得，.故不等式就是．考虑函数．当时，都有，即．而，注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立．

所以,满足条件的所有正整数．

20.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5～106.5～8.5假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值．参考答案：（1）A项目投资利润的分布列

PB项目投资利润的分布列0P…………………6分(2)由题意可知满足的约束条件为………………9分由(1)可知，当，取得最大值15.∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.…………12分

略21.如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．

（Ⅰ）求证：OM⊥BC；

（Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，二面角B－SA－C的大小为，分别求的值．参考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ），试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，往往通过证明线面垂直得出.本题即是通过证明BC⊥平面SAC，从而得出OM⊥BC的；（Ⅱ）先找出四面体S－ABC的体积最大时成立的条件，进而找出线面角及二面角的平面角，放在三角形中求出的值.也可建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决.试题解析：(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC

又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分

O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA

∴OM⊥BC 4分(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积

当且仅当时取得最大值 6分

方法一

取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC

∴， 9分

作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA

故，在中，, 12分方法二

以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则

C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2)

进而M(0，，1)，

是平面ABC的一个法向量，

故， 9分

设v=(x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即

故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量

故 12分考点：空间点、线、面的位置关系22.已知抛物线的方程为C：x2=4y，过点Q（0，2）的一条直线与抛物线C交于A，B两点，若抛物线在A，B两点的切线交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）设直线PQ与直线AB的夹角为α，求α的取值范围．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及导数的几何意义，分别求得切线方程，联立即可求得点P的轨迹方程；（2）分类讨论，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得tanα取值范围，即可求得α的取值范围．【解答】解：（1）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设lAB：y=kx+2，则，整理得：x2﹣4ky﹣8=0…①，△=16k2+32＞0，故k∈R时均满足题目要求．设交点坐标为，则x1，x2为方程①的两根，故由韦