福建省漳州市鸿江中学高三数学理模拟试题含解析

福建省漳州市鸿江中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．解答： 解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．2.已知是等差数列，则该数列前10项和（

）A.100

B.64

C.110

D.120参考答案：A3.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，即g（m+2）＜g（﹣m），∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，故选：C．4.使N展开式中含有常数项的的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C，令＝0，得，所以的最小值是55.已知＝（3，2），＝（－1，0），向量λ＋与－2垂直，则实数λ的值为

（A）

（B）－

（C）

（D）－

参考答案：D略6.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A、

B、5

C、

D、2参考答案：A略7.函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C8.曲线f（x）＝，g（x）＝－2x以及直线x＝1所围成封闭图形的面积为A．

B．1

C．

D．2参考答案：B略9.将函数y＝sin(6x＋)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴方程为A．

B.

C.

D.参考答案：A10.已知集合A={1,3,9,27}，B={y|y=log3x,x∈A}，则A∩B=

()A．{1,3}

B．{1,3,9}

C．{3,9,27}

D．{1,3,9,27}参考答案： A∵，，则，故应选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是________．参考答案：{x|－3<x<2}12.已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若为锐角，则的取值范围是______．参考答案：试题分析：由于圆心到直线的距离,当时,,所以,即,注意到,故,即.考点：圆与直线的位置关系及运用．13.以下给出五个命题，其中真命题的序号为

①函数在区间上存在一个零点,则的取值范围是或；②“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”；③；④若，则；⑤“”是“成等比数列”的充分不必要条件.参考答案：①③④略14.已知函数是偶函数，当时，；当时，记的最大值为，最小值为，则

.参考答案：答案：115.在区间[－1,1]上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为

．参考答案：16.已知集合，若，则实数的取值范围是，其中=

。参考答案：4略17.函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．参考答案：（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．故答案为（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足，，．（1）求椭圆C的方程．（2）设过点D（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，且N在D、M之间，设，求λ的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆定义得，由，得c=2，由此能求出椭圆方程．（2）当直线L的斜率不存在时，直线L为x=0，DN=1，DM=3，；当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx+2，代入，得（1+5k2）x2+20kx+15=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足．∴，得，由得c=2，由c2=a2﹣b2得b=1，∴椭圆方程为．…（2）由题意可知：当直线L的斜率不存在时，直线L为x=0，DN=1，DM=3，；…当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx+2，代入，得（1+5k2）x2+20kx+15=0，△=（20k）2﹣4×15（1+5k2）＞0，得k2＞，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…．由得（x2，y2﹣2）=λ（x1，y1﹣2）∴x2=λx1代入上式得再消去，得，∵，∴，∴，即，∴，解得，…又N在D，M之间，∴，…由上综合可得．…19.（本小题满分12分）已知等比数列的公比，前3项和.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数＝在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．参考答案：（1）方程的两根为2,4，由题意得.设数列的公差为d，则，故，从而.所以的通项公式为（2）设的前n项和为，由（1）知则两式相减得所以.20.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=∣x-a∣，其中a>l.(I)当a=3时，求不等式，f(x)≥4-∣x-4∣的解集；(Ⅱ)若函数h(x)=f(2x+a)-2f(x))的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4,求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，当时，由得，，解得；当时，，无解；当时，得，，解得．∴的解集为．…………5分（Ⅱ）记，则

所以

，解得.…………10分21.（本题满分14分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，，（1）求曲线和的方程；（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则，得

……………2分设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分另解：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，作轴于，则由抛物线的定义得，所以，得，所以c＝1，所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分

…………8分…………10分…………12分

…………14分22.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．（I）当时，求直路l所在的直线方程；（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？参考答案：解：（I）∵，∴y′=﹣x，∴过点M（）的切线的斜率为﹣t，所以，过点M的切线方程为，即．当t=时，切线l的方程为．即当时，直路l所在的直线方程为；（Ⅱ）由（I）