内蒙古自治区赤峰市元宝山区第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市元宝山区第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A． B． C．3π D．12π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．2.读程序框图，若输入x=1，则输出的S=（） A．0 B． 1 C． 2 D． ﹣1参考答案：C3.在等比数列中，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A4.若集合A={x∈N|5+4x﹣x2＞0}，B={x|x＜3}，则A∩B等于（）A．? B．{1，2} C．[0，3） D．{0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式解集的自然数解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣5）（x+1）＜0，x∈N，解得：﹣1＜x＜5，x∈N，即A={0，1，2，3，4}，∵B={x|x＜3}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．5.函数的图像大致为(

)参考答案：D6.下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A）（B）

（C）

（D）参考答案：D略7.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由题意得所求概率测度为面积，已知，求使得的概率，即为考点：几何概型概率【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8.已知函数，则不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是(

)A.（）

B.（1，）

C.（）

D.（1，）参考答案：D10.设集合若，则的值为（）

A.0

B.1

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则的取值范围是

．参考答案：12.关于平面向量，有下列三个命题：①若，则.②若，，，则k＝－3.③非零向量和满足，则与的夹角为60°.其中真命题的序号为

．(写出所有真命题的序号)参考答案：略13.已知是坐标原点，点.若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是__________.参考答案：[0,2]略14.设函数是奇函数的充要条件是a=

．参考答案：115.已知数列为等差数列，若，，则

.参考答案：4516.在△ABC中，边AC=1，AB=2，角，过A作AP⊥BC于P，且，则λμ=

．参考答案：考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，用坐标表示向量，求出点P的坐标，代入，求出λ、μ的值，即得结果．解答： 解：建立坐标系，如图，；设点P（x，y），则=（x，y），∵=（2，0），||=1，∠CAB=，∴=（﹣，）；∴=﹣=（﹣，）；又∵⊥，∴﹣x+y=0①；与共线，∴（x﹣2）﹣（﹣y）=0②；由①②组成方程组，解得x=，y=，∴=（，）；又∵，∴（，）=λ（2，0）+μ（﹣，）=（2λ﹣μ，μ），即，解得，∴λμ=×=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的线性运算以及向量垂直和共线等问题，是综合性题目．17.已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆+y2=1（a＞0）的右焦点，则椭圆方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，则c=2，a2=b2+c2=5，即可求得椭圆方程．【解答】解：抛物线y2=8x焦点在x轴上，焦点F（2，0），由F（2，0）为椭圆+y2=1（a＞0）的右焦点，即c=2，则a2=b2+c2=5，∴椭圆的标准方程为：，故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，椭圆的标准方程，考查转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是、的中点，点在直线上，且满足。（1）证明：；（2）若平面与平面所成的角为，试确定点的位置。

参考答案：（1）略。（2）点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．（1）

证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），

（2分）从而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），

（2分）＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM;

（3分）（2）平面ABC的一个法向量为n＝＝（0,0,1）．（1分）设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，－1，）．

（2分）由

（1分）解得．

（1分）∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，

（1分）解得λ＝－．

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．

（2分）

略19.（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间上的最大值．（其中e为自然对数的底数）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间上的单调性，进而求得其在区间上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）′因为函数，∴f′（x）==f′（x）＞0?0＜x＜2，f′（x）＜0?x＜0，x＞2，故函数在（0，2）上递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上递减．（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，?x3=﹣ax+2，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0?（x2﹣a）（x﹣1）=0?x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1，∵a＞0．故所求实数a的值为1（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，且g′（1）=1﹣a，g′（e）=2﹣a．当a＜1时，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在区间上递增，其最大值为g（e）=a+e（1﹣a）；当1＜a＜2时，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在区间上先减后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在区间上的最大值为g（e）=a+e（1﹣a）；当a＞2时，g′（1）＜0，g′（e）＜0，g（x）在区间上递减，故最大值为g（1）=0．【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是高考的常考题型．20.已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．⑴求椭圆的方程．⑵设直线：与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，且的面积为，求实数的值．参考答案：解：⑴设椭圆的半焦距为，依题意，得，，所求椭圆方程为．

……………5分⑵设，．由已知，得．……6分又由，消去得：，，．

……8分

又，化简得：，解得：

。

………12分21.已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，若，求的最小值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）(3)试题分析：（Ⅰ）由函数在处的切线斜率即为函数在处的导数，从而得出；（Ⅱ）函数存在单调递减区间，则在上有解，从而得出b的取值范围；(3)由，构造函数设由其单调性求出最小值.所以设，所以在单调递减，，故所求的最小值是

…………12分考点：1.导数的应用；2.不等式；22.（本小题共13分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.参考答案：解：（