天津蓟县燕山中学 高三数学理摸底试卷含解析

天津蓟县燕山中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A）（B）（C）（D）参考答案：B由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.2.若数列{an}满足＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是 ()A．10

B．100 C．200

D．400参考答案：B略3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=?，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到(

)A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=?=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．5.已知直线上一点P的横坐标为，有两个点A（-1，1），B（2，2），那么使向量与的夹角为钝角的一个充分非必要的条件是

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C6.曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线为l，则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣1 D．2参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【专题】导数的综合应用．【分析】利用导数求出曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线方程，化圆的一般方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得答案．【解答】解：由y=x2+1，得y′=2x，∴y′|x=1=2，∴曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线l的方程为：y﹣2=2（x﹣1），即2x﹣y=0．又圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为（x+2）2+y2=1．圆心坐标为（﹣2，0），半径为1，∴圆心到直线l的距离为，则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，是中档题．7.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12.其中说法正确的个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C8.椭圆的焦点在轴上，且长轴长为短轴长的倍，则它的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：C略9.已知数列{an}中，前n项和为Sn，且，则的最大值为（

）A.－3 B.－1 C.3 D.1参考答案：C当时，两式作差可得：，据此可得，当时，的最大值为3

10.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

（

）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由下面的流程图输出的s为

参考答案：256；略12.过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|PA|=|AB|，∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，∴x1=，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．13.一个四面体所有棱长都为,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为

。参考答案：略14.已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=

．参考答案：{﹣1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：把集合N中的不等式变形后，利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出解集中的整数解即可得到集合N的元素，然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可．解答： 解：集合N中的不等式可化为：2﹣1＜2x+1＜22，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则﹣1＜x+1＜2即﹣2＜x＜1，由x∈Z得到x的值可以是﹣1和0所以N={﹣1，0}，则M∩N═{﹣1，1}∩{﹣1，0}={﹣1}故答案为：{﹣1}点评：本题属于以函数的单调性为平台，求集合的交集的基础题，是2015届高考常会考的题型．15.已知复数，则在复平面内所对应的点位于第

象限.参考答案：一；16.直线与圆相交所截的弦长为__________参考答案：略17.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的方法，称为“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化为七进制数为．参考答案：155（7）【考点】进位制．【分析】根据题意，依据题意中“除k取余法”的算法，分析可得89=12×7+5，12=1×7+5，1=0×7+1，则有89=155（7），即可得答案．【解答】解：根据题意，89=12×7+5，12=1×7+5，1=0×7+1，则89=155（7），即89化为七进制数为155（7），故答案为：155（7）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)

已知函数R.

(I)求函数的最小正周期；

(II)求函数在区间上的最小值和最大值.参考答案：解析：.因此，函数的最小正周期为.(II)解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，

又

故函数在区间上的最大值为最小值为.

解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：

由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.19.如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（I）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】解：（Ⅰ）cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，…因为∠D∈（0，π），所以sinD=，…所以△ACD的面积S===．…（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12，所以AC=2．…在△ABC中，BC=2，，…把已知条件代入并化简得：，所以AB=4．…20.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n﹣1）千元时多卖出件，（n∈N*）．（1）试写出销售量s与n的函数关系式；（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？参考答案：（1）解法一、直接列式：由题，s=b++++…+=b（2﹣）（广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++；…n千元时s=b++++…+）解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，由题：，相加得Sn﹣S0=+++…+，即Sn=b++++…+=b（2﹣）．（2）b=4000时，s=4000（2﹣），设获利为t，则有t=s?10﹣1000n=40000（2﹣）﹣1000n欲使Tn最大，则，得，故n=5，此时s=7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．略21.（Ⅰ）叙述并证明平面向量基本定理：（Ⅱ)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

参考答案：解：（Ⅰ）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使.证明：在平面内任取一点，作过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点.由向量的线性运算性质可知，存在实数，使得，.由于,所以.

.................6分（Ⅱ）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，

AD=DC=10，ADC=180-4,

=.

因为

sin4=2sin2cos2 cos2=,得

2=30 =15，

在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m

..................12分22.（本小题满分12分）已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(1)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区3月份游客人数低于10000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为，求的分布列及数学期望参考答案：（1）；（2），.【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望.

K2

K6

K8

解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A,此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结