天津东丽区金钟街南孙庄中学高三数学理上学期摸底试题含解析

天津东丽区金钟街南孙庄中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数和的定义域都是R，则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件.C.充要条件.

D.既不充分也不必要条件.参考答案：A2.若某程序框图如图所示，则输出的S的值是

（

）

A．51

B．57

C．71

D．95参考答案：C3.

已知映射,其中，对应法则若对实数，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是

(

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为

(

)A.

B.1

C.

D.2参考答案：【知识点】抛物线重要不等式H7E6A如下图所示，设.

则，，所以

故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得.5.已知x．y∈R+，a=（x，1），b=（1，y－1），若a⊥b，则的最小值为

A．4

B．9 C．8

D．10参考答案：B略6.在△OAB中（O为坐标原点），，，若=－5，则△OAB的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为1，则等于A.10

B.12

C.13

D.14参考答案：B8.设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当时，；当且时，.则方程在上的根的个数为A．2 B．5 C．8 D．4参考答案：D9.已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线与椭圆+=1相切，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系；直线与椭圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，然后利用相切关系列出方程求解p即可．【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的准线与椭圆+=1相切，可得抛物线的准线方程为：y=﹣2，又抛物线的准线方程为y=﹣，所以﹣=﹣2，解得p=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，是基础题．10.过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为

（

）A．

B．

C．2

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式的展开式中，常数项为

▲

.参考答案：12.已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意的n∈N*，均有an，Sn，成等差数列，则an=．参考答案：n【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知条件推导出2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，从而得到{an}是公差为1的等差数列，由此能求出an=n．【解答】解：∵各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，∴2Sn=an+an2，2Sn﹣1=an﹣1+an﹣12，两式相减，得2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），又an，an﹣1为正数，∴an﹣an﹣1=1，n≥2，∴{an}是公差为1的等差数列，当n=1时，2S1=a1+a12，得a1=1，或a1=0（舍），∴an=n．故答案为：n．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，属于中档题．13.已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为________．若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是________．参考答案：，；

14.已知，则sinα=

．参考答案：【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由，求出，得到，再由sinα=tanα?cosα能求出结果．【解答】解：∵，∴，∴，∴sinα=tanα?cosα==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．15.我校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________参考答案：135略16.如右图，AB是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D．割线EC交圆D于B，C，且，，则OEC=_______．参考答案：13°17.已知且，则.参考答案：由得，所以。因为，所以，所以当时，。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．参考答案：

解：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即

解得，．

………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．…………6分当时，；当时，；当时，．8分所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．

………10分因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．…12分19..[选修4-5：不等式选讲]已知a、b、c是正实数，求证：＋＋≥＋＋.

参考答案：

解：法一：因为均为正数，则法二：由(－)2＋(－)2＋(－)2≥0，得2(＋＋)－2(＋＋)≥0，∴＋＋≥＋＋.(10分)20.设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．求证：.参考答案：解：（1），（）=即()当,得=6即（2）①，则，设①

则②①-②得：2+=+因此

略21.

设函数（e=2.71828……是自然对数的底数)．

(I)判断的单调性；

(1I)当在(0，+∞)上恒成立时，求a的取值范围；

(Ⅲ)证明：当(0，+∞)时，．参考答案：22.已知函数f（x）=alnx﹣ax（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+1﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证lnn!≤（n≥2，n∈N*）．参考答案：【考点】66：简单复合函数的导数；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1﹣e，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数F（x）的最大值，进而确定a的范围即可；（Ⅲ）令a=1则f（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性得到lnx＜x，对x取值，累加即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+（a+1）x+1﹣e=alnx+x+1﹣eF′（x）==0，若﹣a≤e，a≥﹣e，F（x）在[e，e2]是增函数，无解．若e＜﹣a≤e2，﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]是减函数；x∈[﹣a，e2]