浙江省舟山市定海第三高级中学高三数学理测试题含解析

浙江省舟山市定海第三高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.上右程序运行后输出的结果为(

)

A.17

B.19

C.21

D.23参考答案：C略2.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

（

）

A．

B.

C．

D.参考答案：D3.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意，根据微积分定理，得，两边平方，得，所以，故正确答案为B.

4.设a，b为实数，若复数=1﹣i（i为虚数单位），则（）A．a=﹣1，b=﹣2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=2 D．a=1，b=﹣2参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：复数=1﹣i（i为虚数单位），则1+3i=（a﹣bi）（1﹣i）=a﹣b﹣（a+b）i，∴a﹣b=1，﹣a﹣b=3，解得a=﹣1，b=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d参考答案：D【考点】函数的零点．【分析】由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y=2017的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0的两根c，d，也就是g（x）=2017的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是A． B．C． D．a2＋b2＞2ab参考答案：C7.等差数列中，若，则等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．9.如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2 B． C． D．参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1，，，．∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．10.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点在不等式组所表示的平面区域中，若对任意的点，总存在实数，使得等式成立，则的最小值为_____________.参考答案：略12.已知实数x,y满足若取得最小值的最优解有无数多个,则m的值为参考答案：1本题考查线性规划.,,取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故.13.若，则

.参考答案：14.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；

③到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形；

④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线．

其中正确的命题是____________．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①③④略15.已知半径为的圆是半径为的球的一个截面，若球面上任一点到圆面的距离

的最大值为，则球的表面积为

参考答案：由已知及球的性质可知，球心到截面的距离为，∵，，解得：，∴．16.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为

.参考答案：17.已知f（x）=，则f（f（））的值为

．参考答案：3e【考点】对数的运算性质．【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．【解答】解：∵＞3，∴=log3（15﹣6）=2．∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．故答案为：3e．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列{an}中，，，且对任意的n∈N*，都有.（1）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*都有，求实数m的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由可得．

又，，所以.所以是首项为2，公比为2的等比数列.

…3分所以.

…4分所以.…………6分（Ⅱ）因为.………8分所以.

………10分又因为对任意的N*都有，所以恒成立，即,即当时，.

………12分19.（本题满分15分）已知，函数．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）当时，讨论的图象与的图象的公共点个数．参考答案：（Ⅰ）解：………………

２分

当时，；

当时，．………4分所以，．…………

5分（Ⅱ）解：设时，…………

7分时，．所以时，一个零点．……………9分时，，，（舍去）所以，时，一个零点．…………………11分时，，对称轴，所以（ⅰ）时，，对称轴，无零点；

（ⅱ）时，，无零点；

（ⅲ）时，，一个零点；

（ⅳ）时，，对称轴，两个零点．…………

13分综上，（ⅰ）时，与的图像的公共点有2个；

（ⅱ）时，与的图像的公共点有3个；

（ⅲ）时，与的图像的公共点有4个．…………

15分

20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（21）图，和的平面上的两点，动点满足：（Ⅰ）求点的轨迹方程：（Ⅱ）若参考答案：解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，

所以椭圆的方程为

(Ⅱ)由得

①

因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，

②

将①代入②，得

故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.

由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以

由方程组

解得

即P点坐标为【高考考点】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。【易错提醒】不能将条件与联系起来【备考提示】重视解析几何条件几何意义教学与训练。21.已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率；（Ⅱ）计算“一位女生闯关成功”的概率，得出变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，则“男生甲闯关成功”为事件，∴P（A）=1﹣P（）=1﹣×××=1﹣=；（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，则P（B）