河北师大点集拓扑课件-41

第连四章通连空通间性A

(2,

3)

,

B

(3,

4](2]4。3A

BA

(2,

3]

,

B

(3,

4](2]4A

B

定义4.

1.

1

设

A和

B是拓扑空间

X

中的两个子集.

如果(

A

B)

(

A

B)

则称A，B是隔离的（或称A，B是隔离子集）.注：拓扑空间X

肯定存在隔离子集.例:

(1)

平庸空间中任意两个非空离子集是否隔离子集？(2)离散空间中任意两个无交的子集是否隔离子集？定义4.1.2设X

是一个拓扑空间，如果X

中有两个非空的隔离子集A

和B

使得X=A∪B，则称X

是一个不连通空间；否则称

X

是一个连通空间.问题：平庸空间是否连通空间？离散空间是否连通空间？定理4.1.1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：X

是一个不连通空间;X中存在两个非空的闭子集A和B使得

A

B

和

A

B

X

;X中存在两个非空的开子集A和B使得

A

B

和

A

B

X;X

中存在一个既开又闭的非空真子集.证明：(1)

(2)

.

设

A和

B是

X中的两个非空隔离子集使得

A

B

X

，则有

A

B

,

且有A

A

X

A

(

A

B)

(

A

A)

(

A

B)

A因此

A

是

X

的一个闭子集.

同理可以证明

B

是

X

中的一个闭子集，从而A

和B

满足(2).(2)

(3).设X

的子集A

和B

满足条件(2)，此时有

A

B

和

B

A

，则

A和B

也满足条件(3).令A

是X

中的一个既开又闭(4)

(1)

.(3)

(4).如果X

的子集A

和B

满足条件(3).由于此时A

和B

都是X中的既开又闭的非空真子集，故(4)满足.的非空真子集，设B

A

，则A和B都是X中的非空闭子集，显然它们是隔离的，且A

B

X

，从而(1)成立.例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.对任何一个无理数

r

,(

,r)

Q

是Q

中的开集.(

,r]

Q

是Q

中的闭集.从而Q中有一个既开又闭的非空真子集，故Q

是不连能空间.定理4.1.2实数空间

R是一个连通空间.证明:(反证法)假设实数空间

R是一个不连通空间,则

R中有两上非空的闭子集

A

和

B

使得

A

B

和A

B

R

;任意选取

a

A

和b

B

,不妨设

a

b

,令

A

A

[a,

b]

及

B

B

[a,

b]

.

于是A

和B

是R中的两个非空闭集分别包含a

和b

，并且有A

B

,A

B

[a,b]图示因为集合

A

有上界

b，故有上确界

b

,由于A

是一个闭集，从而

b

A

，易知

b

b

，否则若有

b

b

将导致b

A

B

，与A

B

矛盾.因此

(b

,

b]

B

.

由于

B

是一个闭集，所以

b

B

，故

b

A

B

，与

A

B

矛盾.图示继续AB..a[b]B

A

b

注：有(无)理数集是实数空间R的一个不连通子集.定义4.1.3

设

Y

是拓扑空间

X

的一个子集.

如果

Y

作为

X

的子空间是一个连通空间，则称Y

是X

的一个连通子集；否则称Y连通子集.是X的一个不注：设X

是一个拓扑空间，且有Y

Z

X则Y

是X

的连通子集，当且仅当Y是Z

的连通子集.证明：(

A

cX

(B))

(cX

(

A)

B)

(

A

cX

(B)

Y

)

(cX

(

A)

Y

B)

(

A

cY

(B))

(cY

(

A)

B)定理4.1.3设

Y是拓扑空间X的一个子集，A,

B

Y

，则

A

和

B

是子空间

Y的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.注：Y是X的一个不连通子集当且仅当存在拓扑空间X中的两个非空隔离子集A

和B

使得A∪B=Y.定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A,B使得

Y

A

B

，则或者

Y

A

或者

Y

B

.证明：若A和B是X中的隔离子集使得Y

A

B

，则((A

Y)

B

Y)

((A

Y)

(B

Y))

(A

Y

B)

((A

B

Y))

Y

((A

B)

(A

B))

从而A∩Y和B∩Y也是隔离子集，且(

A

Y

)

(B

Y

)

(

A

B)

Y

Y由于Y

是X

的连通子集，从而A∩Y和B∩Y

中必有一个是空集.若

A

Y

，则有

Y

B

；若

B

Y

，则有

Y

A

;定理4.1.5

设Y是拓扑空间X

的一，且满足条件个连通子集，Z

XY

Z

Y，则Z也是X的一个连通子集.证明：假设Z

是X

的一个不连通子集,由th4.1.3知有X中的隔离子集A,B使得

Z=A∪B.因此Y

A

B，由于Y

连通,根据th4.1.4知Y

A

或者Y

B.若

Y

A

，因为

Z

Y

A

，所以

Z

B

A

B

,若Y

B则

A

，均与假设矛盾.故

Z

也是

X

的一个连通子集.从而

B

Z

B

；同理可以证明

Y

使得

Y

定理4.1.6

设{Y

}

是拓扑空间X

的连通子集构成的一个集族.如果是X

的一个

,

则

Y

连通子集.证明:(反证法)设

Y

不是连通子集，则存在X

的非空隔离子集A,B

A

B

.任意取x

Y

者Y

所以Y

A

A

，,故

Y

从而

B

,

矛盾.

所以

Y

连通.不妨设x

A

，则对任意

,

A

或x

Y

，由于

Y

连通,

则

Y

B

，由于

x

Yr

A

，....XY定理4.1.7设Y是拓扑空间X的一个子集，若对于任意

x,

y

Y

，存在X中的一个连通子集

Yxy

使得

x,

y

Yxy

Y则Y

是X

中的一个连通子集.ay.

....Ya,

y证明：取定

a

Y

,

则

Y

y

Y

Yay且有a

y

Y

Yay的.，由th4.1.6知Y

是连通拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．注：在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质．定理4.1.8

设

f

:

X

Y

是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.

则

f

(X

)是Y

的一个连通子集.证明:(反证法)设f

(X

)是Y

的一个不连通子集，则存在Y

的非空隔离子集A

,B

使得f

(X

)=A∪B

.由于f

1

(A)和

f

1

(B)

是X

的非空子集，且有(

f

1(A)

f

1(B))

(

f

1(A)

f

1(B))

(

f

1(A)

f

1(B))

(

f

1(A)

f

1(B))

f

1(A

B)

f

1(A

B)

从而

f

1

(

A)

和f

1

(B)

是X的非空隔离子集.并且

f

1(A)

f

1(B)

f

1(A

B)

X故X

不连通，矛盾.有限可积性质：如果任意n

个拓扑空间X1

,X

2

,

,Xn

都具有性质P

，蕴涵积空间X1

X

2

Xn

也具有性质P

,则称性质P

为有限可积性质.注：平庸性、离散性都是有限可积性质.定理4.1.9

设

X1

,

X

2

,

,

Xn

是n个连通空间.

则积空间也是连通空间.证明：只要证明n

=2

的情形即可.(1)首先证明：若x

(x1,x2

),y

(y1,y2

)

X1

X2两个点有一个坐标相同，则X1

X2有一个连通子集同时包含x和y

.不妨设

x1

y1，令使得对

z2

X

2

有k

:

X

2

X1

X

2k

(z2

)

(x1

,

z2

)因为

p1