二次函数综合题课件

专题五二次函数综合题类型四特殊四边形存在性问题(8年2考)二阶

综合训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，D为平面内一动点．(1)求抛物线的函数表达式；第1题图解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，∴

解得

∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3；第1题图(2)如图①，若点D的坐标为(2，0)，E，F为抛物线上两点，以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，设点E的横坐标为e，求e的值；第1题图(2)∵E的横坐标为e，∴E(e，－e2＋2e＋3)，设F(f，－f2＋2f＋3)，而C(0，3)，D(2，0)，①若EF，CD为对角线，则EF，CD的中点重合，∴

解得e＝

或e＝

；②若EC，FD为对角线，则

解得e＝

；③若ED，FC为对角线，则

解得e＝

；综上所述，e的值为

或

或

或

；第1题图(3)如图②，若D为抛物线第一象限内的一个动点，直线AD，BD分别与y轴交于点E，F，则

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第1题图(3)

是定值，设D(m，－m2＋2m＋3)，设直线AD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∴

解得

∴直线AD的表达式为y＝－(m－3)x＋3－m，∴点E的坐标为(0，3－m)，同理可得，点F的坐标为(0，3m＋3)，∴FC＝3m＋3－3＝3m，EC＝3－3＋m＝m，∴

＝

＝3.第1题图平行四边形存在性问题平行四边形存在性问题平行四边形存在性问题2.(2016成都B卷28题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－

)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．(1)求a的值及点A，B的坐标；第2题图备用图解：(1)将点C(0，－

)代入y＝a(x＋1)2－3中，得－

＝a－3，解得a＝

，∴y＝

(x＋1)2－3，当y＝0时，即

(x＋1)2－3＝0，解得x1＝2，x2＝－4，∵点A在点B的左侧，∴点A(－4，0)，点B(2，0)；第2题图直线l有两种可能情况：分别为l1和l2，设直线l1与BC交于点E，直线l2与AD交于点F，当x＝－1时，y＝－3，∴D(－1，－3)，∴DH＝3，(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数表达式；第2题图(2)如解图①，连接CH.第2题解图①∴S四边形ABCD＝S△AHD＋S△HCD＋S△BHC＝

×3×3＋

×3×1＋

×3×

＝10，则S△BHE＝S△AHF＝

S四边形ABCD＝3.∵AH＝BH＝3，∴点E，F的纵坐标为－2，由B(2，0)，C(0，－

)可得直线BC的函数表达式为y＝

x－

，令

x－

＝－2，解得x＝

，∴E(

，－2)，第2题解图①同理，由A(－4，0)，D(－1，－3)可得直线AD的函数表达式为y＝－x－4，令－x－4＝－2，解得x＝－2，∴F(－2，－2).设直线l1的函数表达式为y＝ax＋b，将H(－1，0)，E(

，－2)代入，得解得

∴l1的函数表达式为＝－

x－

，同理l2的函数表达式为y＝2x＋2.综上所述，直线l的函数表达式为y＝

x－

或y＝2x＋2；第2题解图①

解题关键点分直线l与BC相交和直线l与AD相交两种情况求解；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．第2题图(3)以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形．如解图②，设lPQ：y＝kx＋k(k<0)，P(x1，

(x1＋1)2－3)，Q(x2，

(x2＋1)2－3)，联立

整理得

x2＋(

－k)x－k－

＝0，第2题解图②由根与系数的关系得x1＋x2＝3k－2，x1x2＝－3k－8，设点M的坐标为(x，y)，∴x＝

＝

－1，y＝＝

k2，∴M(

－1，

k2).∵ND∥PQ，∴设lDN：y＝kx＋k－3，联立

解得

(舍去)或

∴N(3k－1，3k2－3).第2题解图②∵四边形DMPN是以DP为对角线的菱形，∴由菱形的性质得xP－xN＝xM－xD，即xP＝xM＋xN－xD＝

－1＋3k－1－(－1)＝

k－1，同理yP＝yM＋yN－yD＝

k2，代入二次函数表达式得

k2＝

(

k－1＋1)2－3，解得k＝－

或k＝

(舍去)，将k＝－

代入N(3k－1，3k2－3)中，得点N的坐标为(－2－1，1).第2题解图②

解题关键点利用菱形的性质表示出点P，Q的横、纵坐标是解题的关键．菱形存在性问题3.(2023双流区二诊)如图，对称轴为直线x＝3的抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，7)，P是抛物线上x轴上方的任意一点(不与点A重合)，点P的横坐标为m，抛物线上点A与点P之间的部分(包含端点)记为图象C.(1)求抛物线的表达式；第3题图备用图解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴－

＝3，∴b＝－6，∴抛物线表达式为y＝x2－6x＋c.将点A(0，7)代入抛物线表达式中，得7＝c，∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋7；(2)当m符合什么条件时，图象C的最大值与最小值的差为9?第3题图备用图(2)∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，∴抛物线的顶点坐标为(3，－2)，当y＝7时，x2－6x＋7＝7，∴x＝0或x＝6.当m≥6时，图象C的最小值为－2，最大值为m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－(－2)＝9，解得m＝0(舍去)或m＝6，∴当m＝6时，图象C的最大值与最小值的差为9；当3≤m<6时，图象C的最小值为－2，最大值为7，∴图象C的最大值与最小值的差为9；当0≤m＜3时，图象C的最大值为7，最小值为m2－6m＋7，∴7－(m2－6m＋7)＝9，解得m＝3(舍去)；当m＜0时，图象C的最小值为7，最大值为m2－6m＋7，∴m2－6m＋7－7＝9，解得m＝3－3或m＝3＋3(舍去)；综上所述，当3≤m≤6或m＝3－3时，图象C的最大值与最小值的差为9；第3题图(3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形，已知M为直线y＝

x上的动点，过点P作PN⊥y轴于点N，连接OP，若四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形，求此时点M的坐标．第3题图备用图(3)如解图，当四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形时，必然有∠OM1P＝90°或∠OPM2＝90°，且OP为∠NOM的平分线，连接NM1交OP于点B，过点M1作M1E⊥x轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F.第3题解图点M1在直线y＝

x上，设点M1的坐标为(4a，3a)，则OM1＝5a.∵OP为∠NOM的平分线，∴PN＝PM1，ON＝OM1＝5a，设P(m，5a)，第3题解图∵P＝(3a－5a)2＋(4a－m)2，∴(3a－5a)2＋(4a－m)2＝m2，解得m＝

a，∴点P(

a，5a)，∴直线OP的表达式为y＝2x，联立方程组

解得或

∴点P的坐标为(1，2)或(7，14)，①当点P的坐标为(1，2)时，由

a＝1，解得a＝

，∴点M1的坐标为(

，

).根据对称性，则OP⊥NM1，又∵PM1⊥OM1，∴△OBM1∽△OM1P，∴＝

＝

，∵OP＝，OM1＝2，PM1＝1，∴BM1＝

＝

，∴OB＝

，∵OP⊥BM1，OP⊥PM2，∴BM1∥PM2，∴＝

，∴OM2＝

.第3题解图∵点M2在直线y＝

x上，∴点M2的坐标为(2，

)；②当点P的坐标为(7，14)时，由

a＝7，解得a＝

，∴M1(

，

)，方法同①求得点M2的坐标为(14，

)，综上所述，点M的坐标为(

，)或(2，

)或(

，

)或(14，

).第3题解图4.(2017成都B卷28题12分)如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB＝

，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′.(1)求抛物线C的函数表达式；第4题图解：(1)∵AB＝4，且顶点D(0，4)在y轴上，∴A，B两点关于原点对称，∴A(－2，0)，B(2，0).设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋4，将A(－2，0)代入，得0＝8a＋4，解得a＝－

.∴抛物线C的函数表达式为y＝－

x2＋4；第4题图(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；第4题图(2)∵抛物线C绕点F(m，0)旋转180°得到抛物线C′，则抛物线C′的顶点为D′(2m，－4)，开口大小不变，开口方向改变，∴二次项系数为

，∴抛物线C′的函数表达式为y＝

(x－2m)2－4；联立

整理得x2－2mx＋2m2－8＝0，∵两抛物线在y轴的右侧有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，即4m2－4(2m2－8)>0，解得－2<m<2.∵

即

解得m>2，∴2＜m＜2，∴满足条件的m的取值范围为2<m<2；第4题图(3)如图②，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点为P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不