1.4生活中的优化问题举例省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

1.4生活中优化问题举例

新源县第二中学高二数学组讲课人：李中辉高二（6）班1/25知识回顾一、怎样判断函数单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数

设函数y=f(x)在

某个区间内可导，二、怎样求函数极值与最值？求函数极值普通步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上最值步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数最值。2/25知识背景：

生活中经常碰到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.经过前面学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值有力工具，本节我们利用导数，处理一些生活中优化问题.3/25课题引人：小游戏游戏规则：把一根电线从中间任意一点剪断就得到两根较短电线，把这两根电线折成两个小正方形，假如两个小正方形面积之和最小一位同学获胜！思索：从哪里剪开能够使面积和最小？而且动手试试看。4/25例1：海报版面尺寸设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所表示竖向张贴海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，怎样设计海报尺寸，才能使四面空白面积最小？2

分析：已知版心面积，你能否设计出版心高，求出版心宽，从而列出海报四面面积来？128yx15/25

所以，x=16是函数S(x)极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四面空白面积最小。2128yx16/252、在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间也适合用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题实际意义。7/25练习1、一条长为l铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形面积和最小，两段铁丝长度分别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝长度分别为x,l-x,其中0<x<l8/25由问题实际意义可知：9/25背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装某种饮料。瓶子制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子半径，单位是厘米.已知每出售1ml饮料，制造商可赢利0.2分,且制造商能制作瓶子最大半径为6cm.

(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料利润大？(２)瓶子半径多大时，每瓶利润最小？实例探究二：利润最大问题10/25解：因为瓶子半径为r,所以每瓶饮料利润为：令11/25所以，当r>2时，f′(r)>0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当r<2时，f′(r)<0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料利润还不够瓶子成本，此时利润是负值；（2）半径为6时，利润最大。12/25实例探究二：利润最大问题换一个角度:假如我们不用导数工具,直接从函数图象(图1.4-2)上观察,你有什么发觉?y023r(图1.4-2)从图象上轻易看出,1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是3cm时,饮料利润与饮料瓶成本恰好相等;2.当r>3时,利润才为正值.13/25

处理优化问题方法之一：经过搜集大量统计数据，建立与其对应数学模型，再经过研究对应函数性质，提出优化方案，使问题得到处理．在这个过程中，导数往往是一个有利工具，其基本思绪如以下流程图所表示:方法小结优化问题用函数表示数学问题用导数处理数学问题优化问题答案建立数学模型处理数学模型作答思索114/25表面积设半径为R,则高为h表面积写成R函数,问题就转化求函数最值问题Rh15/25Rh16/25Rh17/25作业:在边长为60cm正方形铁皮四角切去边长相等正方形,再把它边缘虚线折起(如图),做成一个无盖方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xh解设箱底边长为x,则箱高为箱子容积为由解得x1=0(舍),x2=40.18/25xh解设箱底边长为x,箱子容积为由解得x1=0(舍),x2=40.当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.∴函数V

(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V

(x)最大值.答当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,

最大值为16000cm319/25练习3:某种圆柱形饮料罐容积一定时,怎样确定它高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.能够判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底直径相等时,所用材料最省.20/25

问题3:怎样使一个圆形磁盘储存更多信息?21/25知识背景：计算机把信息存放在磁盘上，磁盘是带有磁性介质圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不一样半径所组成同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成扇形区域。磁道上定长弧可作为基本存放单元，依据其磁化是否可分别统计数据0或1，这个基本单元通常称为比特（bit）。磁盘结构如图1.4-3所表示。22/25解:存放量=磁道数×每磁道比特数.设存放区半径介于r与R之间,因为磁道之间宽度必须大于m,且最外面磁道不存放任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。因为每条磁道上比特数相同，为了取得最大存放量，最内一条磁道必须装满，即