chap01 数字逻辑基础

第一章数字逻辑基础1.数制和码制（教材1.2-1.4）2.逻辑代数（教材1.5，1.6，2.1，2.2）3.常用逻辑器件（补充）1.1常见的进制2.十进制（Decimal）由0、1…9十个数码组成，进位规则是逢十进一，计数基数为10，按权展开式：加权和基数r

2第i位系数ci权重ri1.进位计数制

例：542.6=5·102+4·101+2·100+6·10-13.二进制（Binary）

例：4.八进制（Octal）1.1常见的进制

例：5.十六进制（Hexadecimal）

例：1.二、八、十六进制到十进制的转换

例：1.2不同进制转换2.十进制到二、八、十六进制的转换十进制数为整数时，以十进制数D除以r取余数1.2不同进制转换179822(382(680(217910=2638

1791611(3160(B17910=B316

179289(1244(1222(0211(025(122(112(002(1(LSB)(MSB)17910=101100112

整除取余十进制数为小数时，以十进制数D乘以r取整数1.2不同进制转换0.726

20)0.904

21)0.452

21)0.808

20.72610

0.10111021)0.616

21)0.232

20)0.4640.726

86)0.464

85)0.808

83)0.712

80.72610

0.56355485)0.696

85)0.568

84)0.544思考题：0.726转换成十六进制呢？3.A516=11.101001013.二进制到八、十六进制的转换1000110011102=1000110011102=431684.八、十六进制到二进制的转换5.678=101.1101111000110011102=1000110011102=8CE1610.10110012=010.1011001002=2.544810.10110012=0010.101100102=2.B2161.2不同进制转换十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1.2不同进制转换1.加法运算例：求(1011011)2＋(1010.11)2＝?

1011011

＋)

1010.11

1100101.11则(1011011)2＋(1010.11)2＝(1100101.11)22.减法运算例：求(1010110)2－(1101.11)2＝?

1010110

－)

1101.11

1001000.01则(1010110)2－(1101.11)2＝(1001000.01)21.3二进制运算3.乘法运算二进制乘法运算法则（3条）：①

0×0＝0②

0×1＝1×0＝0③1×1＝1

例：求(1011.01)2×(101)2＝?

1011.01

×)

101

101101

000000

＋)101101

11100001则(1011.01)2×(101)2＝(111000.01)2

可见，二进制乘法运算可归结为“加法与移位”。1.3二进制运算4.除法运算例：求(100100.01)2÷(101)2＝? 111.01 101)100100.01

-)

101

1000

-)

101

110

-)

101

101

-)

101

0

则(100100.01)2÷(101)2＝(111.01)2可见，二进制除法运算可归结为“减法与移位”。1.3二进制运算5.反码、补码和补码运算加、减、乘、除运算可归结为用加、减、移位三种操作来完成。实际在计算机中只有加法器而无减法器，这就需要将减法运算转化为加法运算。引进补码的目的就是为了将减法运算转化为加法运算。1.3二进制运算原码：在二进制数的前面增加1位符号位，0表示正，1表示负，所得到的二进制码称为原码。补码：正数的补码不变，负数的补码等于它的反码加1，符号位不变。

反码：正数的反码不变，负数的反码等于各位分别取反（1变为0，0变为1），符号位不变。1.3二进制运算由补码实现二进制的减法运算二进制数的减法运算可以通过加上减数的补码实现。所以，二进制数的加、减运算：[X1+X2]COMP=[X1]COMP+[X2]COMP十进制数（+36）

+（－38）

0原码

0100100+1100110

？补码

0100100+1011010

1111110(-38)=[1100110

]COMP=

[1100110

]INV+1=

1011001+1

=1011010(-2)=[1111110]COMP=[1111110]INV+1=1000001+1=10000101.3二进制运算1.BCD码:二--十进制编码十进制数8421码5421码2421码余3码000000000000000111000100010001010020010001000100101300110011001101104010001000100011150101100010111000601101001110010017011110101101101081000101111101011910011100111111001.4编码二-十进制码：用4位二进制数来表示1位十进制中0-9这10个数码，简称BCD码（Binary-CodedDecimal）2.格雷码（GrayCode）1.4编码十进制数格雷码十进制数格雷码00000811001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010114100170100151000四位格雷码的编码表2.格雷码（GrayCode）1.4编码任意两个相邻数所对应的格雷码之间只有一位不同，其余位都相同。它大大地减少了由一个状态到下一个状态时逻辑的混淆。二进制转换成格雷码从最右边一位起，依次将每一位与左边一位异或(XOR)，作为对应格雷码该位的值，最左边一位不变。例：（12）10=（1100)2=(1010)Gray3.ASCII码：（AmericanStandardCodeforInformationInterchange，美国信息交换标准代码）P28，表1.4.3。用7位二进制数表示128个字符，包括字母、数字、标点符号、运算符号以及控制符等。1.4编码数字0-9：30H—39H字母A-Z:41H—字母a-z：61H—1.5三种基本的逻辑运算1.与逻辑（AND）当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑。

设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态。1－闭合，0－断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态，1－灯亮，0－灯灭。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮串联开关电路功能表ABY000010100111与逻辑的真值表描述逻辑关系的图表称为真值表与逻辑表达式

Y=A·B（逻辑乘）ABY常用与门芯片74LS08(四2输入与门)74LS11(三3输入与门)2.或逻辑（OR）当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮并联开关电路功能表ABY000011101111或逻辑的真值表或逻辑表达式

Y=A+B（逻辑加）或逻辑符号ABY1.5三种基本的逻辑运算74ls32（四2输入或门）3.非逻辑（NOT）当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。电路功能表开关A灯Y断开亮闭合灭非逻辑的真值表AY0110非逻辑表达式

Y=A=A’（逻辑加）非逻辑符号AY1.5三种基本的逻辑运算74LS04六反相器4.复合逻辑与非真值表XYFXYF001101011110&XYFXYF001101011000XYF或非真值表XYF≥11.5三种基本的逻辑运算异或真值表XYF001101010110XYF001101011001同或真值表BAF=1BAFF=A⊙B=A’·B’+A·BBAFBAF=1.5三种基本的逻辑运算与或非AB&CD≥1(真值表略)常用芯片74LS86常用逻辑运算符号曾用符号美国符号ABYABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB≥1常用逻辑运算符号国标符号曾用符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB≥11.5逻辑函数及其表示方法（1）逻辑真值表：将输入、输出所有可能状态一一列出（n个变量可有2n个组合）。1、真值表、函数式、卡诺图、逻辑图例：三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。1.5逻辑函数及其表示方法（2）逻辑函数式把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，常用“与或”的形式。

例：三人表决电路：（3）逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示。例：三人表决电路逻辑图1.5逻辑函数及其表示方法2、逻辑函数的最小项和标准形式最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式）最小项：n个因子以原变量或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称m为n变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项。最小项的编号规则：把最小项m值为1的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作mi

。1.5逻辑函数及其表示方法三变量的最小项编号表1.5逻辑函数及其表示方法将函数式化成最小项和的形式的方法为：该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反变量，展开即可。例：将函数式化成最小项和的形式。解：

最简与或式标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式1.基本公式（P40）序号公式序号公式规律1A0=010A+0=A01律2A1=A11A+1=101律31’=0;0’=1（公理）12(A’)’=A还原律4AA=A13A+A=A重叠律5AA’=014A+A’=1互补律6AB=BA15A+B=B+A交换律7A（BC）=（AB）C16A+（B+C）=（A+B）+C结合律8A（B+C）=AB+AC17A+（BC）=（A+B)(A+C)分配律9(AB)’=A’+B’18(A+B)’=A’B’反演律德摩根（De.Morgan）定理1.6逻辑代数公式2.常用公式（P40）序号公式规律19A+AB=A（长中含短，保留短）吸收律20A+A’B=A+B（长中含反，去掉反）吸收律21AB+A’C+BC=AB+A’C（正负相对，余全完）吸收律1.6逻辑代数公式A+AB=AB+AC+BC=1.6逻辑代数公式反演规则：“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量对偶规则：“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变

3.基本规则（P42）例：求下列逻辑函数的反函数和对偶函数

解：反函数：对偶函数：1.7逻辑函数的化简方法1.最简与或表达式（积之和）表达式中的乘积项最少；乘积项中含的变量少。其它表达式见P43。1.7逻辑函数的化简方法2.公式化简法

并项：利用AB+AB’=A将两项并为一项，且消去一个变量B。

吸收：利用A+AB=A消去多余的项AB。

消项：利用AB+A’C+BC=AB+A’C、AB+A’C+BCD=AB+A’C消去多余项BC或BCD。

消元：利用A+A’B=A+B消去多余变量A。

配项：利用A+A=A或A+A’=1进行配项。1.7逻辑函数的化简方法并项：利用AB+AB’=A将两项并为一项，消去变量B。吸收：利用A+AB=A消去多余的项AB。1.7逻辑函数的化简方法消项：利用AB+A’C+BC=AB+A’C、AB+A’C+BCD=AB+A’C消去多余项BC或BCD。消元：利用A+A’B=A+B消去多余变量A。1.7逻辑函数的化简方法配项：利用A+A=A或A+A’=1进行配项。1.7逻辑函数的化简方法P44例2.1.8P45例2.1.91.7逻辑函数的化简方法逻辑函数的卡诺图化表示法3.卡诺图化简法用各小方块表示n变量的全部最小项，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得图形称为n变量最小项的卡诺图。二变量卡诺图三变量卡诺图

1.7逻辑函数的化简方法五变量卡诺图四变量卡诺图函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置处填1，其余位置处填0。逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换1.7逻辑函数的化简方法思考：多输入多输出该如何表达呢？1.7逻辑函数的化简方法卡诺图化简圈“1”的原则：yz1111x00011110011111yzx000111100111每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为2i个；11111111yzwx00011110000111101.7逻辑函数的化简方法每个圈至少包括一个没有被圈过的1；11111111yzwx0001111000011110所有1至少被圈过一次。1111yzx00011110011111111111yzwx00011110000111101.7逻辑函数的化简方法合并最小项规则：

在所圈的最小项中，变量取值全是0的，在表达式中以反变量的形式出现；变量取值全是1的，在表达式中以原变量的形式出现；变量取值既有0也有1的，在表达式中不出现。所圈的2i个相邻的最小项，可以消去i个变量取值既有0也有1的变量。例：化简下列逻辑函数。(1)F=∑x,y,z(1,2,5,7)1111yzx00011110011.7逻辑函数的化简方法1111yzx000111100111.7逻辑函数的化简方法利用图形法化简函数[例][解]①画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111②合并最小项：画包围圈③写出最简与或表达式1.7逻辑函数的化简方法[例]用图形法求反函数的最简与或表达式[解]①画函数的卡诺图ABC010001111011110000②合并函数值为0

的最小项③写出Y的反函数的最简与或表达式1.7逻辑函数的化简方法无关项：约束项和任意项统称为无关项。约束项：取值组合不可能出现的最小项。约束条件：可以用全部约束项之和等于0表示。任意项：是指在某些输入变量取值下，函数值是0还是1都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所对应的最小项称为任意项。具有无关项的逻辑函数的卡诺