有关辗转相除法和更相减损术的问题市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

相关辗转相除法和更相减损术问题第1页探究一,辗转相除法思索1:在小学中我们是怎样求出两个正整数最大条约数呢?算法案例之求最大条约数求以下几组正整数最大条约数。(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示m和n最大条约数。)（1）（18，30）（2）（24，16）（3）（63，63）（4）（72，8）（5）（301，133）解：21824用公有质因数2除，

3912用公有质因数3除，

343和4互质不除了。得：18和24最大条约数是：2×3＝6

例、求18与24最大条约数：6；8；63；8；7；短除法想一想，怎样求8251与6105最大条约数？

第2页

思索2:对于8251与6105这两个数，它们最大条约数是多少？你是怎样得到？

因为它们公有质因数较大，利用上述方法求最大条约数就比较困难.有没有其它方法能够较简单找出它们最大条约数呢？第3页

思索3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数条约数和6105与2146条约数有什么关系？

我们发觉6105=2146×2+1813，同理，6105与2146条约数和2146与1813条约数相等.

思索4：重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数最大条约数吗？2146=1813×1+333，148=37×4+0.333=148×2+37，1813=333×5+148，8251=6105×1+2146，6105=2146×2+1813，定义:所谓辗转相除法,就是对于给定两个数,用较大数除以较小数,若余数不为零,则将余数和较小数组成新数对,继续上面除法,直到大数被小数除尽,则这是较小数就是原来两个数最大条约数第4页辗转相除法求两个数最大条约数，其算法能够描述以下：辗转相除法是一个重复执行直到余数等于0停顿步骤，这实际上是一个循环结构

思索4：辗转相除直到何时结束？主要利用是哪种算法结构？如此循环，直到得到结果。①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r。④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，不然转向第②步继续循环执行。第5页第一步，给定两个正整数m，n(m>n).第二步，计算m除以n所得余数r.第三步，m=n，n=r.

第四步，若r=0，则m，n最大条约数等于m；不然，返回第二步.

思索5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？第6页程序框图开始输入m，n求m除以n余数rm=nn=rr=0？是输出m结束否INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND第7页

思索6:假如用当型循环结构结构算法，则用辗转相除法求两个正整数m、n最大条约数程序框图和程序分别怎样表示？第8页开始输入m，n求m除以n余数rm=nr≠0？否输出m结束是n=rINPUTm，nWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND第9页练习：用辗转相除法求以下两数最大条约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）45982417第10页二、更相减损术

《九章算术》是中国古代数学专著，其中“更相减损术”也能够用来求两个数最大条约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”意思是：

第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.

第二步：以较大数减去较小数，接着把差与较小数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得数相等为止，则这个等数或这个数与约简数乘积就是所求最大条约数.第11页例1：用更相减损术求98与63最大条约数.98-63=35，14-7=7.21-7=14，28-7=21，35-28=7，63-35=28，因为63不是偶数，所以所以最大条约数是7.第12页

例2分别用辗转相除法和更相减损术求168与93最大条约数.168=93×1+75，93=75×1+18，75=18×4+3，18=3×6.辗转相除法：更相减损术:168-93=75，

93-75=18，

75-18=57，

57-18=39，

39-18=21，

21-18=3，

18-3=15，

15-3=12，

12-3=9，

9-3=6，

6-3=3.第13页

例4求325，130，270三个数最大条约数.

因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130最大条约数是65.

因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大条约数是5.

故325，130，270三个数最大条约数是5.第14页

练习:用更相减损术求两个正整数m，n最大条约数，能够用什么逻辑结构来结构算法？其算法步骤怎样设计？

第一步，给定两个正整数m，n(m>n).

第二步，计算m-n所得差k.

第三步，比较n与k大小，其中大者用m表示，小者用n表示.

第四步，若m=n，则m，n最大条约数等于m；不然，返回第二步.

讨论:该算法程序框图怎样表示？第15页开始输入m，nn>k？m=n是输出m结束m≠n？k=m-n是否n=km=k否

讨论:该程序框