画法几何（机械类、近机类和建筑类专业高职）全套教学课件

共11章，包括制图的基本知识与技能、投影基础、点的投影、直线的投影、平面的投影、投影变换、基本体的投影、立体表面的交线、轴测图、组合体、透视投影。全套可编辑PPT课件

第一章制图的基本知识与技能制图国家标准的基本规定1.1尺寸标注（GB/T4458.4—2003）1.2常用尺规绘图工具1.3常用几何图形的画法1.4平面图形画法1.5徒手画平面图形1.6工程图样是表达工程技术人员的设计意图和设计方案的重要技术文件。图样作为技术交流的共同语言，必须有统一的规范。国家标准《技术制图》是基础技术标准，在制图标准中处于最高层次，具有通用性，适用于各类制图。国家标准《机械制图》是在《技术制图》的基础上制定的适用于工程图样的制图标准，工程技术人员必须严格遵守其有关规定。标准代号由字母和数字组成，如“GB/T4457.4—2002”。其中，“GB/T”表示推荐性国家标准，“4457.4”是该标准的编号，“4457”为标准的顺序号，“.4”表示本标准的第4部分，“2002”是该标准颁布的年份。制图国家标准的基本规定1.1图纸幅面简称图幅，是指图纸尺寸规格的大小。图纸幅面用图纸的

表示。为了便于图纸的装订和保管，绘制技术图样时，应优先选用表1-1中的A0～A4这五种基本幅面，必要时也允许选用加长幅面的图纸。加长幅面时，基本幅面的长边尺寸保持不变，短边尺寸乘以整数倍即可，如图1-1（a）所示。1．图纸的幅面1.1.1图纸的幅面和格式（GB/T14689—2008）幅面代号B×LaceA0841×1189251020A1594×841A2420×59410A3297×4205A4210×297表1-1图纸幅面及尺寸图1-1加长幅面和基本图幅间的关系(a)1．图纸的幅面1.1.1图纸的幅面和格式（GB/T14689—2008）幅面代号B×LaceA0841×1189251020A1594×841A2420×59410A3297×4205A4210×297观察表1-1中A0～A4这五种基本幅面的尺寸可知，将大号的图纸沿幅面的长边对折即可得到小一号幅面的图纸，其对折方式如图1-1（b）所示。此外，表1-1中a，c，e均代表周边尺寸，即图框线到图纸边界的距离。表1-1图纸幅面及尺寸图1-1加长幅面和基本图幅间的关系(b)2．图框格式限定绘图区域的线框称为图框，图框在图纸上必须用粗实线画出，其格式分为留装订边（图1-2）和不留装订边（图1-3）两种，同一产品的图样只能采用一种格式。图框及留边尺寸a，c，e可参见表1-1。1.1.1图纸的幅面和格式（GB/T14689—2008）图1-2留装订边的图框格式（a）A3，A2，A1，A0图纸（b）A4图纸（a）A3，A2，A1，A0图纸（b）A4图纸图1-3不留装订边的图框格式3．标题栏（GB/T10609.1—2008）1.1.1图纸的幅面和格式（GB/T14689—2008）每张图纸都必须画出标题栏。常见的标题栏有两种格式：一种是国家标准规定的标题栏，另一种是学校制图作业中使用的简化标题栏，如图1-4和图1-5所示。通常情况下，标题栏位于图纸的右下角，它在图纸中的具体位置及方向如图1-2和图1-3所示。其中，当标题栏的长边与图纸长边平行时，则构成X型图纸；当标题栏的长边与图纸的长边垂直时，则构成Y型图纸。图1-4国家标准规定的标题栏图1-5制图作业中使用的简化标题栏为了使图样在复制和微缩摄影时定位方便，应在图纸各边的中点处分别画出对中符号。对中符号用粗实线绘制，线宽不小于0.5mm，长度从纸边开始伸入图框线内约5mm。当对中符号处于标题栏内时，则伸入标题栏内的部分省略不画。为了使用预先印制好的图纸，允许将X型图纸的短边置于水平位置使用，或将Y型图纸的长边置于水平位置使用。此时，标题栏中的文字方向与看图方向不一致。为了正确地表达看图方向，应在图纸下边的对中符号处绘制方向符号，如图1-6所示。对中符号及方向符号的画法如图1-7所示。1.1.1图纸的幅面和格式（GB/T14689—2008）3．标题栏（GB/T10609.1—2008）（a）X型图纸竖放（b）Y型图纸横放图1-6对中符号和方向符号图1-7对中符号和方向符号的画法1.1.2比例（GB/T14690—1993）比例是指图样中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。为了在图样上直接反映实物的大小，绘图时应尽量采用1∶1的原值比例。由于各种实物的大小与结构存在差异，绘图时可根据实际需要选取放大比例或缩小比例，工程上应优先选取表1-2中的第一系列比例，必要时也可采用第二系列比例。种类第一系列第二系列原值比例1∶1—放大比例2∶1，5∶1，1

×10n∶1，2

×10n∶1，5

×10n∶14∶1，2.5∶1，4

×10n∶1，2.5

×10n∶1缩小比例1∶2，1∶5，1∶10，1∶2

×10n，1∶5

×10n，1∶10

×10n1∶1.5，1∶2.5，1∶3，1∶4，1∶6，1∶1.5

×10n，1∶2.5

×10n，1∶3

×10n，1∶4

×10n，1∶6

×10n表1-2比例注：n为正整数。字母和数字分A型和B型。A型字体的笔画宽度（d）为字高（h）的十四分之一，B型字体的笔画宽度（d）为字高（h）的十分之一。在同一图样上只允许选用一种型式的字体。字母和数字可以写成直体或斜体，斜体字字头向右倾斜，与水平基线成75°。书写字体必须做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。为了达到这些要求，手写字时要注意：◆用H或HB铅笔写字，并将铅笔削成圆锥形，笔尖不要太尖或太秃。◆按所写的字号用2H或3H的铅笔打好底格，底格宜浅不宜深，以能看清为准。◆字体的笔画宜直不宜曲，起笔和收笔不要追求刀刻效果，要大方简洁。◆字体的结构力求匀称、饱满，笔画分割的空白分布均匀。汉字应写成长仿宋体字，并应采用国家正式公布推行的《汉字简化方案》中规定的简化字。汉字的高度h不应小于3.5mm，其字宽一般为

。1.1.3字体（GB/T14691—1993）

1．汉字2．字母和数字1.1.3字体（GB/T14691—1993）

字体示例长仿宋

体字7号5号拉丁

字母A型字体

大写斜体（7号）A型字体

小写斜体（7号）阿拉伯

数字A型字体

斜体（7号）A型字体

直体（7号）综合应用表1-3字体示例工程制图中，为了能够准确地表达物体的形状及可见性，通常需要使用不同线型和线宽来表达不同对象，如表1-4所示。1．线型及其应用1.1.4图线（GB/T4457.4—2002）图线名称线型及其尺寸图线宽度一般应用应用举例粗实线d可见轮廓线细实线d/2①尺寸线和尺寸界线②剖面线③重合断面轮廓线波浪线d/2①断裂处的边界线②视图与剖视图的分界线虚线d/2不可见轮廓线细点画线d/2①轴线②对称中心线③轨迹线双点画线d/2①相邻辅助零件的轮廓线②可动件的极限位置的轮廓线双折线d/2断裂处的边界线粗虚线d允许表面处理的表示线粗点画线d限定范围表示线表1-4线型及其应用1．线型及其应用1.1.4图线（GB/T4457.4—2002）图线的线宽有粗、细两种，它们之间的比例为2∶1。线宽d共分8种：0.18mm，0.25mm，0.35mm，0.5mm，0.7mm，1mm，1.4mm，2mm。粗线的宽度d应按图样的类型和大小，在8种线宽中选择（优先选用0.5mm或0.7mm），粗细线的线宽之比为2∶1。图线的应用实例如图1-9所示。（a）点画线及虚线的画法

（b）圆的对称中心线画法图1-9图线画法示例（1）在同一图样中，同类图线的宽度应基本一致。虚线、点画线及双点画线的线段长度和间隔应大致相同。点画线和双点画线的首尾两端应以线段开始和结束。（2）当点画线、虚线和其他图线相交时，都应以画相交，不应在间隔空白处相交，如图1-9所示。（3）在较小的图形上绘制虚线、点画线或双点画线困难时，可用细实线代替。（4）当虚线在粗实线的延长线上时，在分界的延长处要留出空隙；当虚线与圆相切，相切的延长处应留有间隙，如图1-9（a）所示。（5）绘制点画线时，点画线应超出图形轮廓线约3～5mm，如图1-9（b）所示。2．图线的画法及其注意事项1.1.4图线（GB/T4457.4—2002）图样中，图形只能表达物体的形状。若要表示物体的大小及各部分间的位置关系，则需要为其标注尺寸。由此可见，尺寸是图样的重要内容之一，是加工、制造零件的主要依据，不能有任何差错。标注尺寸时，应严格执行《机械制图尺寸注法》（GB/T4458.4—2003）中的相关规定，且所注尺寸必须做到正确、完整、清晰、合理。尺寸标注（GB/T4458.4—2003）1.2①机件的真实大小应以图样上所标注的尺寸数值为依据，与图形的大小和绘图的准确度无关。②图样中的尺寸以mm（毫米）为单位时，不需要标注单位符号或名称，若采用其他单位，则必须注明相应的单位符号，如m，cm等。③图样中所标注的尺寸应为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则应另加说明。④机件的每一尺寸一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。1．尺寸标注的基本原则1.2.1基本原则和尺寸要素1.2.1基本原则和尺寸要素一个完整的尺寸应由尺寸界线、尺寸线及尺寸数字三个要素组成，如图1-10所示。2．尺寸标注的组成要素1）尺寸界线尺寸界线表示尺寸的度量范围，用细实线绘制，并自图形的轮廓线、轴线或对称中心线处引出，也可将轮廓线、轴线或对称中心线作为尺寸界线。尺寸界线一般应与尺寸线垂直并超出尺寸线2～3mm。必要时允许倾斜，如图1-11所示。图1-10尺寸的组成要素

图1-11尺寸界线2）尺寸线及箭头尺寸线表示所注尺寸度量的方向，用细实线绘制在两尺寸界线之间。图样上的尺寸线不能用其他图线代替，也不能与其他图线重合或画在其延长线上，如图1-12所示。尺寸线的终端形式有两种，一般用箭头表示，同一张图样中只能采用一种形式，如图1-13所示。3）尺寸数字尺寸数字用来确定所标注结构的尺寸大小，水平尺寸数字注写在尺寸线上方，铅垂尺寸数字注写在尺寸线的左方且字头朝左，也允许注写在尺寸线的中断处。尺寸数字不得被任何图线所通过，当无法避免时，必须将图线断开。1.2.1基本原则和尺寸要素（a）正确

（b）错误图1-12尺寸线图1-13箭头的画法2．尺寸标注的组成要素线性尺寸的尺寸数字一般注写在尺寸线的上方或中断处，且应按图1-14（a）所示的方向注写，并尽可能避免在图示30°范围内标注尺寸，当无法避免时应引出标注，如图1-14（b）所示。对于非水平方向上的尺寸，其数字也可水平注写在尺寸线的中断处。1．线性尺寸中尺寸数字的标法1.2.2常见尺寸标法（a）

（b）图1-14线性尺寸数字的方向半圆或小于半圆的圆弧一般标注半径尺寸，尺寸线从圆心出发，箭头指向圆弧，且尺寸数字前需注写半径符号“R”，如图1-15（a）所示；当圆弧半径太大或无法标出圆心位置时，圆弧半径的标注方法如图1-15（b）所示。圆或大于半圆的圆弧需标注直径尺寸。标注直径尺寸时，尺寸数字前需加注符号“f”，如图1-15（c）所示。标注球体的直径或半径尺寸时，应在尺寸数字前加注符号“Sf”或“SR”。2．半径和直径的尺寸标法1.2.2常见尺寸标法（a）半圆和小圆弧的半径标法（b）大圆弧的半径标法

（c）直径的标法图1-15半径和直径的尺寸标法标注角度时，角的两条边或两条边的延长线可作为尺寸界线，尺寸线应画成圆弧，角度数字一律按水平方向注写。一般情况下，角度数字注写在尺寸线的中断处，也可引出标注，如图1-16所示。3．角度的尺寸标法1.2.2常见尺寸标法当没有足够的空间画尺寸线两端的箭头时，尺寸线的箭头可外移，或用小圆点代替该箭头；当没有足够的空间注写尺寸数字时，尺寸数字可写在尺寸线的外面或引出标注，如图1-17所示。4．狭小部位的尺寸标法图1-16角度的尺寸标法图1-17狭小部位的尺寸标法当分布在中心线两侧的图形完全相同时，其标注方法如图1-18（a）所示；当对称机件的图形只画出一半或略大于一半时，尺寸线应略超过对称中心线或断开处的边界，此时仅在尺寸线的一端画出箭头，其标注如图1-18（b）所示。常见尺寸标注的符号如表1-5所示。1.2.2常见尺寸标法5．对称图形的尺寸标法名

称符号和缩写词名

称符号和缩写词直径f45°倒角C半径R深度球直径Sf沉孔或锪平球半径SR埋头孔厚度t均布EQS正方形□图1-18对称图形的尺寸标法(a)(b)表1-5常见尺寸标注符号下面通过表1-6对尺寸要素的运用和常见尺寸的注法作进一步说明。1.2.2常见尺寸标法6．常见尺寸的标注方法项目说

明图

例尺

寸

数

字①线性尺寸的数字一般注在尺寸线的上方，也允许填写在尺寸线的中断处②线性尺寸的数字应按右栏中左图所示的方向填写，并尽量避免在图示30°范围内标注尺寸。竖直方向尺寸数字也可按右栏中右图形式标注③数字不可被任何图线所通过。当不可避免时，图线必须断开尺

寸

线①尺寸线必须用细实线单独画出。轮廓线、中心线或它们的延长线均不可作尺寸线使用。②标注线性尺寸时，尺寸线必须与所标注的线段平行尺

寸

界

线①尺寸界线用细实线绘制，也可以利用轮廓线（见图a）或中心线（见图b）作尺寸界线。②尺寸界线应与尺寸线垂直。当尺寸界线过于贴近轮廓时，允许倾斜面出（见图c）。③在圆滑过渡处标注尺寸时，必须用细实线将轮廓延长，从它们的交点引出尺寸界线（见图d）表1-6常见的尺寸标注下面通过表1-6对尺寸要素的运用和常见尺寸的注法作进一步说明。1.2.2常见尺寸标法6．常见尺寸的标注方法项目说

明图

例直

径

与

半

径①标注直径尺寸时，应在尺寸数字前加注直径符号“f”；标注半径尺寸时，加注半径符号“R”，尺寸线应通过圆心②标注小直径或小半径尺寸时，箭头和数字都可以布置在外面小

尺

寸

的

注

法①标注一连串的小尺寸时，可用小圆点或斜线代替箭头，但最外两端箭头仍应画出。②小尺寸可按右图标注角

度①角度的数字一律水平填写。②角度的数字应写在尺寸线的中断处，必要时允许写在外面或引出标注。③角度的尺寸界线必须沿径向引出续表1-6常见的尺寸标注图板是用来固定图纸的。图板短边（导边）是工作边。画图时，应先将图纸用胶带固定在图板上，然后将丁字尺的头部紧靠图板的工作边（导边）并上下滑动到需要画线的位置，将铅笔垂直于纸面并向右与纸面夹角60°～75°自然倾斜，从左向右可画出水平线，如图1-19所示。丁字尺的尺头只能与图板的左导边配合画线，不能与图板的其他边缘配合画线。画图线时，只能用丁字尺上缘（工作边）画水平线。尺规绘图是指用铅笔、绘图板、丁字尺、三角板和圆规、分规等绘图工具与仪器来绘制图样。虽然计算机绘图已经普及，但尺规绘图仍然是工程技术人员必备的绘图基本技能，也是学习和掌握制图基本知识和绘图技能的必要措施。常用尺规绘图工具1.31．图板与丁字尺图1-19图板与丁字尺配合画线一副三角板一般有两块，一块两角均为45°，另一块两角分别为30°和60°。三角板与丁字尺配合使用，可画出图1-20（a）所示角度的直线。此外，两块三角板与丁字尺配合使用，可以画出15°及其整数倍角度的斜线，还可以画出已知直线的平行线或垂直线，如图1-20（b）所示。画线时，必须按图中箭头方向所示方向画。常用尺规绘图工具1.32．三角板（a）三角板与丁字尺配合

（b）两块三角板配合图1-20三角板的用法圆规是用来画圆和圆弧的工具。圆规的附件有描图用的鸭嘴笔插腿和画大圆用的延伸杆，如图1-21所示。画图时，固定圆心的钢针应用带台阶的一端，防止钢针插入图板过深，影响画圆质量；同时应合理调整铅芯与钢针针尖的长度，使两脚在并拢时针尖略长于铅芯，使铅芯的尖端与钢针的台阶面平齐，然后将圆规按顺时针方向旋转，并保证旋转过程中针尖与铅芯均垂直于纸面，如图1-22（a）和图1-22（b）所示。画大圆时，应加接延伸杆后使用。需注意，画图时应使钢针与铅芯插脚同时垂直纸面，如图1-22（b）和图1-22（c）所示。常用尺规绘图工具1.33．圆规(a)(b)(c)图1-22圆规的用法图1-21圆规及附件分规是用来截取尺寸和等分线段的工具。使用前，应检查分规两脚的针尖并拢后是否平齐。分规的用法如图1-23所示。常用尺规绘图工具1.34．分规绘图铅笔的铅芯分为H，HB和B三个等级。标号H代表铅芯的硬性，H前的数字越大，表示铅芯越硬，所画图线的颜色越淡；HB代表软硬适中；B代表铅芯的软性，B前的数字越大，表示铅芯越软，所画图线的颜色越黑。工程制图中，画底稿用2H或3H铅笔，加深图线用B或2B铅笔，写字和画箭头时用HB铅笔。5．铅笔的削法和使用为了保证同一图样上的同类线型粗细一致，画粗实线用的铅笔，铅芯应磨削成截面为d×d（d为要画线条的宽度）的四棱柱形；写字和标注尺寸时，铅笔铅芯部分应削成锥形；画线时，铅笔与画线方向的夹角约60°，如图1-24所示。此外，削铅笔时应从没有标号的一端开始，保留有标号的一端，以便识别其硬度。（a）画粗实线用的铅笔

（b）写字和标注尺寸用的铅笔图1-24绘图铅笔的削法和使用（a）量取尺寸（b）截取线段或等分线段图1-23分规的用法常用尺规绘图工具1.3图纸要求质地坚实，用橡皮擦拭不易起毛，且符合国家规定的图幅尺寸要求。画图时，应用图纸的正面画图。图纸正反面的识别方法是：用橡皮擦拭几下，不易起毛的即为正面。固定图纸时，将丁字尺尺头靠紧图板，以丁字尺上缘为准，将图纸摆正然后绷紧图纸，用胶带将其固定在图板上。当图幅不大时，图纸宜固定在图板左下方，但在图纸下方应留出足够放置丁字尺的空间。6．图纸等分线段一般采用试分法，即先凭目测估计出每一等份的长度，然后用分规自线段的一端进行试分，若不能恰好将线段分尽，可按“剩余”或“不足”部分的长度调整分规的张角，再次进行试分，直到分尽为止。除了试分法外，还可以使用辅助平行线法等分线段。例如，要将已知线段AB进行五等分，作图步骤如下（图1-25）：①过线段AB的端点A作任意一条不与原线段及其延长线重合的射线AC。②利用直尺或圆规在射线AC上从A点起，以适当长度截取5个等分点。③用直线连接点5与点B，然后过其他各等分点作线段B5的平行线并与线段AB相交，交点即为线段AB的等分点。1.4.1等分线段常用几何图形的画法1.4图1-25等分直线段AB三角板配合丁字尺使用，可将圆周三、四、六等分，其作图方法如图1-26（a）～（c）所示。此外，也可利用圆的半径R将圆周六等分，如图1-26（d）所示，若用直线连接这六个等分点，即可成为圆的内接正六边形。1．将圆周三、四、六等分（或绘制等边三角形、正方形和正六边形）1.4.2等分圆周并作正多边形（a）

（b）

（c）

（d）图1-26将圆周三、四、六等分已知圆的半径，可用圆规将圆周五等分，然后利用直线连接各等分点即可绘制圆的内接正五边形，具体作图步骤如下。①以圆的象限点A为圆心，OA为半径画圆弧，交外接圆于点E和点F，连接EF交直线OA于点B，如图1-27（a）所示。②以点B为圆心，BC为半径画圆弧，交直线OA于点D，如图1-27（b）所示；接着以点C为圆心，CD为半径画圆弧，交外接圆于G，H两点，如图1-27（c）所示。③分别以G，H两点为圆心，CG和CH为半径画圆弧，即可得到点M和点N，然后依次连接各等分点即可得到正五边形，如图1-27（d）所示。2．将圆周五等分（或绘制正五边形）1.4.2等分圆周并作正多边形(a)(b)(c)(d)图1-27将圆周五等分并画正五边形1.4.3圆或圆弧的切线绘图时，经常会遇到作已知圆或圆弧切线的问题，其作图的关键是准确地找出直线与圆或圆弧的切点。类别作图步骤图

例过圆上一点作圆的

切线①连接圆心O与定点P②过点P初定切线方向PA，PA⊥PO③加深描粗切线PA

过圆外定点作已知圆切线①过点A初定切线②定切点K③连接点A，K，作切线AK作已知两圆的内公

切线①初定切线②定切点K，M③连接点K，M，作切线KM表1-7圆的切线的作图方法与步骤

用圆弧光滑连接两条直线，作图方法如表1-8所示。1.4.4圆弧连接圆弧连接是指用圆弧光滑连接已知直线或曲线。为确保连接光滑，在画连接圆弧前，应准确作出连接圆弧的圆心和连接点（即切点）。常见的圆弧连接有两种形式。类别用圆弧连接锐角或钝角的两边用圆弧连接直角的两边图例作图

步骤①作与已知两边分别相距为R的平行线，交点O即为连接弧圆心②过O点分别向已知角两边作垂线，垂足点M和N即为切点③以O为圆心，R为半径，在两切点M和N之间画连接圆弧即可①以直角顶点为圆心，R为半径作圆弧交直角两边于点M和N②以点M和N为圆心，R为半径作圆弧相交得连接弧圆心O③以O为圆心，R为半径在切点M和N之间作连接弧即可表1-8圆弧连接两条直线的作图步骤

用圆弧光滑连接两条圆弧，作图方法如表1-9所示。1.4.4圆弧连接类别作图步骤图

例外连接①分别以O1和O2为圆心，R＋R1和R＋R2为半径，画圆弧交得连接弧圆心O②分别用直线连接OO1和OO2，交得切点A，B③以O为圆心，R为半径画弧即可内连接①分别以O1和O2为圆心，R－R1，R－R2为半径画弧，交得连接弧圆心O②分别用直线连接OO1和OO2，交得切点A，B③以O为圆心，R为半径画弧即可内外连接①分别以O1和O2为圆心，R1＋R和R2－R为半径画圆弧，交得连接弧圆心O②分别用直线连接OO1交得切点A，连接OO2并延长交得切点B③以O为圆心，R为半径画弧即可表1-9圆弧与圆弧连接的作图步骤斜度是指一直线对另一直线或一平面对另一平面的倾斜程度。斜度的大小用两直线或两平面间夹角的正切值来表示，其标注形式为“∠1∶n”。斜度符号的指向应与斜度方向一致，如图1-28（a）所示，斜度的画法如图1-28（b）和（c）所示。1.4.5斜度与锥度（a）

（b）

（c）图1-28斜度的标注及画法锥度是指正圆锥的底圆直径D与高度L之比，或圆台的两底圆直径之差D－d与高度L之比，其标注形式为“1∶n”，锥度符号的尖端方向应与锥度方向一致，如图1-29（a）所示，锥度的画法如图1-29（b）和（c）所示。（a）

（b）

（c）图1-29锥度的标注及画法斜度、锥度符号画法如图1-30所示，其中h为字体高度，符号线宽为h/10。图1-30斜度、锥度符号的画法例如，知椭圆的长轴AB和短轴CD，其作图步骤如下。①用直线连接长轴和短轴的端点，得线段AC；然后以点O为圆心，OA为半径画圆弧，与短轴交于点E1；接着以点C为圆心，CE1为半径画弧，交AC于点E，如图1-31（a）所示。②作AE的中垂线，与两轴分别交于点1和点2；接着分别作这两点在长轴和短轴的对称点3、4，如图1-31（b）。③分别以点1，2，3，4为圆心，以1A，2C，3B，4D为半径画圆弧，即得近似椭圆，如图1-31（c）所示。椭圆有两条相互垂直且对称的轴，即长轴和短轴，椭圆的画法一般有两种，即“四心圆法”和“同心圆法”。通常使用“四心圆法”近似地绘制椭圆。1.4.6椭圆的画法1．四心圆法图1-31使用四心圆法画椭圆(a)(b)(c)已知椭圆的长轴和短轴，可先求出曲线上一定数量的点，再用曲线板光滑连接，就可以绘制出椭圆。例如，知椭圆的长轴AB和短轴CD，其作图步骤如下:①以长轴AB和短轴CD为直径画两同心圆，然后过圆心作一系列中心角相同的直径与两圆分别相交，如图1-32（a）所示。②在同一直径上过大圆交点作长轴AB的垂线，过小圆交点作短轴CD的垂线，得到的交点就是椭圆上的点。③用曲线板光滑连接各点，即得所求椭圆，如图1-32（b）所示。1.4.6椭圆的画法2．同心圆法(a)(b)图1-32使用同心圆法画椭圆定形尺寸是用于确定图形结构大小的尺寸，如确定线段的长度、圆弧的半径（或圆的直径）和角度大小等的尺寸。如图1-33所示，f5，f20及R10，R15，R12，15等都是定形尺寸。1.5.1尺寸分析平面图形画法1.5平面图形中的尺寸，按其作用可分为定形尺寸和定位尺寸两类。1．定形尺寸定位尺寸是用于确定线段在平面图形中所处位置的尺寸。如图1-33所示，尺寸8确定了f5的圆心位置；75间接地确定了R10的圆心位置；45确定了R50圆心的一个坐标值。定位尺寸通常以图形的对称中心线、回转体的轴线或某一轮廓线（较大的底面、端面、侧面等的投影）作为标注尺寸的起点，这个起点称为尺寸基准。如图1-33所示A和B。2．定位尺寸图1-33手柄平面图平面图形中的线段（直线或圆弧），其定形尺寸均为给定的，即为已知的，通常根据其定位尺寸完整与否，可将平面图形中的线段分为三类：已知线段、中间线段和连接线段。两个定位尺寸齐全的线段称为已知线段；只有一个定位尺寸的线段称为中间线段；两个定位尺寸都没有的线段称为连接线段。因为直线连接的作图比较简单，所以这里只讲圆弧连接的作图问题。已知圆弧：具有两个定位尺寸的圆弧，图1-33中的R15，R10。中间圆弧：具有一个定位尺寸的圆弧，图1-33中的R50。连接圆弧：没有定位尺寸的圆弧，图1-33中的R12。在作图时，由于已知圆弧有两个定位尺寸，故可直接根据给定尺寸画出；而中间圆弧虽然缺少一个定位尺寸，但它总是和一个已知线段相连接，因此，需利用连接圆弧与一端相邻已画出已知线段的连接关系（相切的条件），并应用圆弧连接的作图方法方可画出；连接圆弧缺少两个定位尺寸，唯有借助连接圆弧和相邻已经画出的两条线段的连接关系（相切条件），并应用圆弧连接的作图方法才能画出来。综上所述，画平面图形时，应在尺寸分析的基础上，确定其图线的画线顺序：先画已知线段（圆弧），再画中间线段（圆弧），最后画连接线段（圆弧）。1.5.2线段分析图1-33手柄平面图绘制平面图形的方法和步骤如下。（1）准备工作包括：①分析图形的尺寸及其线段；②确定比例，选用图幅，固定图纸；③拟定具体的作图顺序。（2）绘制底稿。画底稿的步骤如图1-34所示。画底稿时，应注意以下几点。①

画底稿用2H或3H铅笔，铅芯应经常修磨以保持尖锐；②

底稿上，各种线型均暂不分粗细，并要画得很轻很细；③

作图力求准确；④

画错的地方，在不影响画图的情况下，可以暂时不擦。1.5.3绘图的方法和步骤（a）画图框和标题栏

（b）合理、均匀布图，画出基准线（c）画出已知线段

（d）画出中间线段（e）画出连接圆弧

（f）校对修改图形，画出尺寸界线、尺寸线图1-34画底稿的步骤1.5.3绘图的方法和步骤（3）铅笔描深底稿。描深底稿的原则如下。◆先细后粗：一般应先描深全部虚线、点画线及细实线等，再描深全部粗实线，这样既可保证图面干净、提高绘图效率，又可保证同一线型在全图中粗细一致，不同线型之间的粗细也符合比例关系。◆先曲后直：在描深同一种线型（特别是粗实线）时，应先描深圆弧和圆，然后描深直线，以保证连接处圆滑且有利于控制圆线和直线的黑亮程度一致。◆先水平、后垂斜：先用丁字尺自上而下画出全部相同线型的水平线，再用三角板自左向右画出全部相同线型的垂直线，最后画出倾斜的直线。（4）标注尺寸：标注定形尺寸和定位尺寸。（5）全面检查、校对图纸、清洁图面、填写标题栏。描深底稿的注意事项如下。①

在铅笔描深以前，必须全面检查底稿，清洁图面，修正错误，把画错的线条及作图辅助线用软橡皮轻轻擦净。②

用H，HB，B，2B铅笔描深各种图线，用力要均匀一致，以免线条浓淡不匀。③

为避免弄脏图面，要保持双手和三角板及丁字尺的清洁。描深过程中应经常用毛刷将图纸上的铅芯浮末扫净，并应尽量减少三角板在已描深的图线上反复推摩。④

描深后的图线很难擦净，故要尽量避免画错。需要擦掉时，可用软橡皮顺着图线的方向擦拭。描深后的图如图1-33所示。1.5.3绘图的方法和步骤图1-33手柄平面图画直线时，可先标出直线的两个端点，然后执笔悬空并沿直线方向比划一下，以便掌握好方向和走势后再落笔画线，此时铅笔落在起点、眼睛注视到终点以控制画线方向。为了运笔方便，在画水平线和竖直线时，可将图纸斜放；画竖直线时，要自上而下运笔，如图1-35所示。画短线时常以手腕运笔，画长线时以手臂动作；若画太长的线时，先目测其中点将线变短，再逐段依次徒手画出各段直线。徒手绘图是指不借助绘图工具（丁字尺、三角板、圆规、分规等），主要依靠目测估计图形与实物的比例而徒手绘制的图样。徒手绘图在现场测绘和技术交流时尤为必要，这项技能是每个工程技术人员必须具备的一项重要的基本技能。徒手画平面图形1.61．直线的徒手画法（a）画水平线

（b）画竖直线图1-35水平线和竖直线的运笔方向及画法画45°，30°，60°等常见角度时，可根据直角边的比例关系，在两直角边上定出几点，然后连接这些点。画线的运笔方向如图1-36所示。徒手画圆时，应先确定圆的位置并画出两条互相垂直的中心线，然后在中心线上根据半径大小目测半径标记出四个点，最后过这四点依次画圆，如图1-37（a）所示。当圆半径较大时，则可过圆心在45°方向上加画两条斜线，同样在这两条斜线上按照半径大小再目测半径标记出四个点，然后过这八个点依次连接绘制大圆，如图1-37（b）所示。徒手画平面图形1.62．常用角度线的画法3.圆的徒手画法图1-36角度线的画法（a）小圆的画法

（b）大圆的画法图1-37圆的画法画椭圆时，应先画出椭圆的两条相互垂直的长轴和短轴，然后在这两条轴线上分别截取椭圆的四个端点，接着过这四个端点画椭圆的外切矩形，并将矩形的对角线六等分，最后依次过长、短轴的端点和对角线靠外侧的等分点画椭圆，结果如图1-38所示。4．椭圆和圆角的徒手画法徒手画平面图形1.6图1-38椭圆的画法图1-39徒手画圆角和连接弧（a）

（b）徒手画圆角时，应先作角平分线，然后在角平分线上指定圆心，并过圆心作两条边的垂线，以指定圆弧的两个切点，接着在角平分线上目测半径截取圆弧上的一点，最后把三点依次连接起来即可，如图1-39所示。

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第二章投影基础投影法的基础知识2.1工程中常用的几种投影2.2三视图的投影规律及画法2.3当日光或灯光照射物体时，在地面或墙面上就会出现物体的影子，这就是我们在日常生活中所见的投影现象。人们将这种现象进行科学的总结，提出了投影法，如图2-1所示。投影法的基础知识2.12.1.1投影的形成如图2-2所示，将△ABC薄板（物体）放在平面P（地面）的上方，然后由点S（灯）分别通过A，B，C各点向下引出直线（光线）并延长，使它与平面P交于点a，b，c，则△abc就是△ABC薄板在平面P上的投影（影子）。在这一现象中，投射线通过物体向选定的平面投射，并在投影面上得到图形的方法，称为投影法。其中，点S称为投射中心，平面P称为投影面，直线Aa，Bb，Cc称为投射线。根据投影法得到的图形（△abc）称为投影。图2-1投影法图2-2中心投影法根据投射线是否平行，投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。1．中心投影法2.1.2投影法的种类投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。由图2-2可知，当△ABC、投影面P和光源S之间的相对位置发生变化时，投影△abc的形状和大小也要发生相应的变化。可见中心投影法的投影不能反映物体的真实大小。因此，在工程图样中很少采用。图2-2中心投影法2．平行投影法投射线相互平行的投影法称为平行投影法。按投射线是否垂直于投影面，平行投影法又可分为正投影法和斜投影法。2.1.2投影法的种类1）正投影法投射线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法，根据正投影法得到的投影称为正投影，如图2-3（a）所示。由于正投影法的投射线相互平行且垂直于投影面，所以，当空间平面图形平行于投影面时，其投影将反映该平面图形的真实形状和大小，即使改变它与投影面之间的距离，其投影形状和大小也不会改变。因此，绘制工程图样主要采用正投影法。2）斜投影法投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法，根据斜投影法得到的投影称为斜投影，如图2-3（b）所示。（a）正投影法

（b）斜投影法图2-3平行投影法工程上采用增补投影面的方法可获得多面正投影图，它采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别用正投影法获得几何原形的投影，由这些投影唯一确定该几何原形的空间形状。图2-4（a）是某一几何体用正投影法分别对三个投影面投射的直观图，图2-4（b）是其展开后的三个正投影图。采用正投影法时，常将几何体的主要平面与相应的投影面相互平行放置，这能反映出这些平面的实形，因此从图上可以直接得到空间几何体的尺寸，即正投影图有很好的度量性。虽然正投影图的立体感不足，但由于其度量性方面的突出优点，因此在机械制造行业和其他工程部门中被广泛采用。2.2.1正投影

工程中常用的几种投影2.2工程中常用的投影主要有正投影、轴测投影、标高投影和透视投影等。（a）直观图

（b）投影图图2-4多面正投影图2.2.2轴测投影轴测投影是一种单面投影图。图2-5（a）表示了某一几何体的轴测投影的形成，先设定空间几何原形的直角坐标体系，该坐标体系的三根坐标轴（X，Y，Z）上标有长度单位。采用平行投影法（正投影法或斜投影法），将空间几何原形及其坐标体系沿着与坐标面不平行的方向一起投射到投影面，得到的投影称为轴测投影，又称轴测图。图2-5（b）是其轴测图。由于采用平行投影法，所以空间平行的直线，其投影仍平行。轴测图能同时反映出几何体长、宽、高三个方向的形状，以增强立体感。轴测图以其良好的直观性，经常用作图书中的插图或工程图样中的辅助图样。图2-5轴测投影（a）轴测投影的形成

（b）轴测图标高投影是用正投影法获得空间几何元素的投影之后，再用数字标出空间几何元素对投影面的距离，以在投影图上确定空间几何元素的几何关系。图2-6（a）表示了某曲面标高投影的形成，图2-6（b）是其标高投影，图中一系列标有数字的曲线称为等高线。标高投影常用来表示不规则曲面，如船舶、飞行器、汽车曲面及地形等。2.2.3标高投影（a）曲面标高投影的形成

（b）曲面的标高投影图2-6标高投影2.2.4透视投影透视投影又称透视图，属于中心投影法。它与照相成影的原理相似，图形接近于视觉映像，所以透视投影富有逼真感、直观性强。图2-7是某一几何体的一种透视图，由于采用中心投影法，所以空间平行的直线投射后有的就不平行了。透视图广泛用于工艺美术及宣传广告图样。虽然它直观性强，但由于作图复杂且度量性差，故在工程上只用于土建工程及大型设备的辅助图样。若用计算机绘制透视图，则可避免人工作图过程的复杂性。因此，在某些场合广泛地采用透视图，以取其直观性强的优点。图2-7透视图由于得到正投影的投射线相互平行，且垂直于投影面，因此正投影具有如下特性:1）真实性当直线或平面与投影面平行时，直线的投影反映实长，平面的投影反映实形，这种投影特性称为真实性，如图2-8（a）所示。2）积聚性当直线或平面与投影面垂直时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一条直线，这种投影特性称为积聚性，如图2-8（b）所示。3）类似性当直线或平面与投影面倾斜时，直线的投影长度变短，平面的投影面积变小，但投影的形状与原来的形状类似，这种投影特性称为类似性，如图2-8（c）所示。2.3.1正投影的基本特性三视图的投影规律及画法2.3（a）真实性

（b）积聚性

（c）类似性图2-8正投影的基本特性2.3.2三视图的形成在工程制图中，根据有关标准和规定，用正投影法所绘制出物体的图形，称为视图。一般情况下，物体的一个投影（视图）不能确定其形状，如图2-9所示，3个形状不同的物体，它们在同一投影面上的投影（视图）却相同，不能反映物体的真实形状。要清楚反映物体的完整形状，通常需要多面投影（视图），即将物体放在三投影面体系中，将物体分别向多个投影面投射，获得多面投影（视图）。工程上常用三投影面体系来表达简单物体的形状。图2-9一个视图不能确定物体形状三投影面体系由三个互相垂直的投影面组成，如图2-10所示。其中：◆正对着观察者的投影面称为正立投影面，简称正面，用V表示；◆处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面，用H表示；◆处于右边侧立位置的投影面称为侧立投影面，简称侧面，用W表示。投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX，OY，OZ表示。其中，OX轴代表长度方向，OY轴代表宽度方向，OZ轴代表高度方向，三投影轴的交点称为原点，用O表示。2.3.2三视图的形成图2-10三投影面体系如图2-11（a）所示，将物体放在三投影面体系中，按正投影法向V面、H面和W面作投影，即可分别得到主视图、俯视图和左视图。主视图——由前向后投射，在正面上所得的视图；俯视图——由上向下投射，在水平面上所得的视图；左视图——由左向右投射，在侧面上所得的视图。绘图时，不必绘制投影面和投影轴，只需画出三面视图，如图2-11（b）所示。2.3.2三视图的形成图2-11立体的三视图(a)(b)以主视图为准，俯视图在它的下面，左视图在它的右面。按此位置配置的三视图，不需注写其名称。1．三视图的位置关系2.3.3三视图之间的对应关系2．三视图间的“三等”关系如图2-12所示，从三视图的形成过程中，可看出：主视图反映物体的长度（X）和高度（Z）；俯视图反映物体的长度（X）和宽度（Y）；左视图反映物体的高度（Z）和宽度（Y）。由此可归纳得出：主、俯视图——长对正；主、左视图——高平齐；俯、左视图——宽相等。图2-12三视图的“三等”关系如图2-14（a）所示，方位关系是指以绘图（或看图）者面对正面（即主视图的投射方向）观察物体为准。物体的上、下、左、右、前、后六个方位在三视图中的对应关系如图2-14（b）所示。主视图——反映物体的上、下和左、右；俯视图——反映物体的左、右和前、后；左视图——反映物体的上、下和前、后。3．视图与物体的方位关系2.3.3三视图之间的对应关系图2-14三视图的方位关系(a)(b)（1）分析形体，确定主视投射方向：主视图尽可能反映物体的形状特征，其他视图作图简单、细虚线少。（2）确定绘图比例和图幅：根据物体的复杂程度和大小来确定。（3）布局，画底稿图：先画基准线或对称中心线，再从具有形体特征的主视图入手，先主后次，逐个绘出各部分的投影（先画特征投影或有积聚性的投影），根据“三等”规律，三个视图结合起来画。（4）检查三视图的投影。（5）加深描粗图线。画线顺序一般先画细线后画粗线、先画圆线后画直线（先水平后铅垂再斜线）、从左至右、从上至下依次加深描粗图线。（6）再次全面检查、校对视图、修饰图面。（7）填写标题栏。2.3.4三视图的画法及作图步骤【例2-6】根据图2-15所示立体图，绘制主视图、俯视图和左视图。分析：该物体由两个长方体叠加而成，其中上部分的正上方切去一个长方体形成凹槽。2.3.4三视图的画法及作图步骤图2-15立体图作图步骤：①形体分析，确定主视方向，如图2-15所示的主视图投射方向，最能反映物体的形状特征，并且物体是左右对称的。②画投影轴和45°辅助线，如图2-16（a）所示。③布局，画主要结构的底稿图。利用“三等”关系——长对正，高平齐，宽相等，绘制两个叠加长方体的三视图，如图2-16（b）所示，注意先画基准线或对称中心线。④完成局部结构凹槽的投影。先完成凹槽特征视图——主视图的投影，再利用“长对正”完成俯视图中切去的长方体的投影，然后根据“高平齐”补画左视图中挖去的长方体的投影，如图2-16（c）所示。由于挖去的长方体的深度在左视图中的投影不可见，故用细虚线表示。⑤对照立体图检查补画的三视图，清洁图面并擦去多余的辅助线，确认无误后加深描粗图线，如图2-17所示。⑥全面检查，校对图纸。2.3.4三视图的画法及作图步骤（a）

（b）

（c）图2-16绘制立体的三视图图2-17清洁图面并加深描粗图线

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第三章点的投影点的三面投影及投影规律3.1点的投影与直角坐标的关系3.2两点的相对位置3.3特殊位置的点3.4点的投影仍是点，点的投影如图3-1所示，为了便于区分，通常规定：空间点用大写字母或罗马数字表示，如“A”和“Ⅰ”等；◆H面投影用相应的小写字母或阿拉伯数字表示，如“a”和“1”等；◆V面投影用相应的小写字母或阿拉伯数字加一撇表示，如“

”和“1′”等；◆W面投影用相应的小写字母或阿拉伯数字加两撇表示，如“

”和“1″”等。3.1.1点的三面投影点的三面投影及投影规律3.1（a）

（b）

（c）图3-1点的投影由图3-1可得出点的投影规律：①点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。②点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。③点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离，即

。可以用45°线反映该关系，如图3-1（b）；或用圆弧反映该关系，如图3-1（c）所示。45°线和圆弧是为保证宽相等而作的辅助线。3.1.2点的投影规律（a）

（b）

（c）图3-1点的投影【例3-1】

如图3-2（a）所示，已知点A的投影a′和a″，求点A的第三投影a。作图步骤：①过a′作a′ax⊥OX，并延长。②量取

，可求得a，如图3-2（b）所示；或用45°辅助线，将点通过45°辅助线求得a，如图3-2（c）所示；或用圆弧，求得a，如图3-2（d）所示。3.1.2点的投影规律（a）

（b）

（c）

（d）图3-2求点的第三投影当点在投影面上的时候，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影则在该投影面的两根投影轴上，如图3-4所示。如图3-3所示，点A的直角坐标xA，yA，zA与点的三面投影a，a′，a″之间的关系如下：——点A到W面的距离；——点A到V面的距离；——点A到H面的距离。点的投影与直角坐标的关系3.2（a）点在H面上

（b）点在V面上

（c）点在W面上图3-4点在投影面上（a）

（b）图3-3点的直角坐标与三面投影的关系作图步骤：①在OX轴上从点O向左量取11，定出ax，过ax作OX轴的垂线，如图3-5（a）所示。②在OZ轴上从点O向上量取10，定出az，过az作OZ轴的垂线，与OX轴垂线的交点即为a′；在a′ax的延长线上，从ax向下量取16得a，如图3-5（b）所示。③在a′az的延长线上，从az向右量取16得a″，如图3-5（c）所示。a，a′，a″即为点A的三面投影。点的投影与直角坐标的关系3.2【例3-2】

已知点A的坐标值A(11，16，10)，求作点A的三面投影图。（a）

（b）

（c）图3-5求点的三面投影图两点的相对位置是指两点在空间的前后、上下、左右的位置关系，由其坐标值决定，判断时以投影面作为基准。距V面远者在前，近者在后；距W面远者在左，近者在右；距H面远者在上，近者在下。3.3.1两点在空间的相对位置比较两点的相对位置3.3如图3-6（a）所示，已知A，B两点的三面投影，他们的相对位置确定如下：从H，W面投影可看出，点A比点B距V面远，故点A在点B之前；从V，W面投影可看出，点B比点A距H面远，故点B在点A之上；从V，H面投影可看出，点A比点B距W面远，故点A在点B之左。结论：点B在点A的右后上方；点A在点B的左前下方，如图3-6（b）所示。（a）

（b）图3-6两点的相对位置3.3.2重影点及其可见性当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，他们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用小括号括起来，以示区别，如图3-7所示。图3-7重影点的判断①投影面上的点，一投影与该点本身重合，另外的投影在投影轴上。如图3-8（a）中的点B位于H面上，H面投影b与点B本身重合。图3-8（b）是投影图，故不必写出B，只注写b；

位于Y轴上，在投影图中，图

位于W面，应画在属于W面上的

轴上。②投影轴上的点，两投影合于该点本身，另外一个投影与原点重合。如图3-8（a）中的点C位于Z轴上，它的V面和W面投影

和

与本身重合，H面投影c则与原点O重合。③一点与原点重合，它的三个投影均与原点O重合。如图3-9（a）中的点D与原点O重合，它的三个投影d，

和

均与原点O重合。特殊位置的点3.4一点可以位于投影面上、在投影轴上、甚至与原点重合而形成三种特殊位置的点，它们的投影恰好在投影轴上或与原点重合，如图3-8所示。（a）空间状况

（b）投影图图3-8特殊位置的点

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第四章直线的投影直线的三面投影4.1属于直线上的点4.2各种位置直线的投影4.3线段的实长及其与投影面的夹角4.4两直线的相对位置4.5直线的投影一般仍为直线。如图4-1（a）所示，直线AB的水平投影ab、正面投影a′b′、侧面投影a″b″均为直线。直线的投影可由直线上两点的同面投影（即同一投影面上的投影）来确定。因空间一直线可由直线上的两点来确定，所以直线的投影也可由直线上任意两点的投影来确定，如图4-1（b）所示。求作直线三面投影的方法，实质上归结为求作直线段两端点A，B的三面投影，并将其各端点的同面投影用粗实线连接得到ab，a′b′，a″b″，即为直线AB的三面投影，如图4-1（c）所示。直线的三面投影4.1（a）空间直线的投影情况

（b）作直线两端点的投影

（c）同面投影连线即为所求图4-1直线的三面投影属于直线上的点，其投影仍属于直线的投影。如图4-2所示，若点

，则必有

，

，

。1．从属性属于直线上的点4.2如图4-3（a）所示，已知直线AB的三面投影和属于直线的点C的水平投影c，求点C的正面投影c′和侧面投影c″，作图情况如图4-3（b）所示。（a）

（b）图4-2属于直线上点的投影（a）

（b）图4-3属于直线上点的投影作图直线上的点将直线分割后，则各分割线段的长度之比与各分割线段投影的长度之比相等。如图4-2所示：

。2．定比性属于直线上的点4.2（a）

（b）图4-2属于直线上点的投影1．投影面平行线平行于某一个投影面且与其他两个投影面都倾斜的直线称为投影面平行线。其中，平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影特性如表4-1所示。各种位置直线的投影4.3空间直线与投影面的相对位置有平行、垂直和倾斜三种，空间直线相对于投影面位置不同，直线的投影就各有不同的投影特性。1．投影面平行线各种位置直线的投影4.3名称水平线（∥H，对V，W面倾斜）正平线（∥V，对H，W面倾斜）侧平线（∥W，对H，V面倾斜）轴

测

图投

影

图投

影

特

性①水平投影ab=AB②正面投影a′b′∥OX，侧面投影a″b″∥OYW，都不反映实长③ab与OX和OYH的夹角b、g等于AB对V，W面的倾角①正面投影c′d′=CD②水平投影cd∥OX，侧面投影c″d″∥OZ，都不反映实长③

c′d′与OX和OZ的夹角a、g等于CD对H，W的倾角①侧面投影e″f″=EF②水平投影ef∥OYH，正面投影ef∥OZ，都不反映实长③e″f″与OYW和OZ的夹角a、b等于EF对H，V面的倾角小结：①在所平行的投影面上的投影反映实长

②其他另两面投影平行于相应的投影轴

③反映实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角2．投影面垂直线各种位置直线的投影4.3名称铅垂线

（⊥H，∥V和W）正垂线

（⊥V，∥H和W）侧垂线

（⊥W，∥W和V）轴

测

图投

影

图投

影

特

性①水平投影a（b）成一点，有积聚性①②a′b′=a″b″=AB，且a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW①正面投影c′（d′）成一点，有积聚性②cd=c″d″=CD，且c′d⊥OX，c″d″⊥OZ①侧面投影e″（f″）成一点，有积聚性②ef=e′f′=EF，且ef⊥OYH，e′f′⊥OZ小结：①在所垂直的投影面上的投影有积聚性

②其他另两面投影反映线段实长，且垂直于相应的投影轴若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行于另外两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影特性如表所示。与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线的三面投影均与投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如图4-4所示。3．一般位置直线各种位置直线的投影4.3图4-4一般位置直线对于特殊位置直线段，即投影面平行线和投影面垂直线，其三面投影就可以反映出其空间实际长度和相对于投影面的倾角。但对于一般位置直线段，由于它相对于三个投影都是倾斜的，在三个投影面的投影都不能反映它本身的实际长度和相对于投影面的倾角，因此，当我们想根据一般位置直线的三面投影确定其实长及其相对于投影面的倾角时，必须采用一些方法，如直角三角形法、换面法和旋转法。本节内容只介绍直角三角形法求一般位置线段的实长及与投影面的倾角。线段的实长及其与投影面的夹角4.4如图4-5（a）所示，空间一般线段AB的H面投影为ab，过A作ab的平行线，与Bb交于点C，由于Bb垂直于ab，所以Bb必然也垂直于AC，即

，也就是说△ABC是一个直角三角形。在这个直角三角形ABC中，直角边AC与AB在H面的投影ab长度相等，而另一直角边BC的长度是A，B两点相对于H面的高度差，可以用Δz表示，斜边AB正是空间线段的实际长度，而∠BAC便是AB相对于H面的倾角。如果在投影图中求线段AB的实长和倾角的话，只需作一个与△ABC全等的直角三角形就可以了。如图4-5（b）所示，过

作OX轴的平行线与

交于

点，则

即为点A和点B的高度差Δz。由于

，以ab为一条直角边，

为另一条直角边，作出△ABC的全等三角形△

，其斜边aB1即为所求线段AB的实长，∠baB1为所求的倾角a。这种求线段实长和倾角的方法，即为直角三角形法。线段的实长及其与投影面的夹角4.4（a）

（b）

（c）图4-5直角三角形法求线段的实长和倾角同理，要求AB对V面的倾角b，根据图4-5（a）和（c），可以

为一条直角边，Δy（A，B两点的宽度差）为另一条直角边，作出一个与直角三角形ABD全等的三角形

，则直角三角形

的斜边

即为所求的线段的实长，而

为所求线段相对于V面的倾角β

。线段的实长及其与投影面的夹角4.4（a）