四川省达州市万源旧院中学2022年高二数学文联考试卷含解析

四川省达州市万源旧院中学2022年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在数列{an}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{an}的第10项为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等差数列的定义可得等差数列的公差，代入通项公式后化简可得an，则答案可求．【解答】解：∵a1=1，a2=，且{}等差数列，则等差数列{}的首项为1，公差为，∴，则．∴．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2.已知，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.在下图中，直到型循环结构为（

）参考答案：A4.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为

A、平面

B、直线

C、圆

D、线段参考答案：B5.已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是

（

）A、

B、4

C、

D、5参考答案：C6.如图，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为

（

）

A．1

B.2

C．3

D.4

参考答案：B解析：

由于二面角C1—AB—D的平面角为45°，所以在这个二面角及它的“对顶”二面

角内，不存在过点P且与面ABCD和面ABC1D1均成30°的直线。转而考虑它的补二面

角，易知过点P有且仅有两条直线与面ABCD和面ABC1D1均成30°。故满足条件的直

线l有2条。7.已知函数f(x)在x=1处导数为1，则

（

）

A、3

B、

C、

D、参考答案：B8.在等比数列中，已知，则等于（

）

A．16

B．12

C．6 D．4参考答案：D9.在正方体中，O1为底面正方形的对角线交点，直线BC1与AO1所成的角为（

）A． B． C． D．参考答案：A10.若<1的解为(1，2]，则a的取值范围是（

）（A）(–，)

（B）(0，)

（C）(0，)

（D）(–1，1)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两直线的极坐标方程和，则两直线交点的极坐标为______________.参考答案：12.已知椭圆(a＞b＞0)的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.在极坐标系中，设P是直线l：r(cosθ+sinθ)=4上任一点，Q是圆C：r2=4rcosθ-3上任一点，则|PQ|的最小值是________．参考答案：略14.曲线在点（1,1）处的切线方程为

.参考答案：15.在△ABC中，，，，则△ABC的面积为________．参考答案：16.有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f（x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．参考答案：②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆；②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行；

③，若函数f（x）=x3+mx单调递增?m≥0；④，p或q是真命题?p且q不一定是真命题；?p且q是真命题?p或q一定是真命题；【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；

对于③，若函数f（x）=x3+mx单调递增?m≥0，故错；对于④，p或q是真命题?p且q不一定是真命题；?p且q是真命题?p或q一定是真命题，故正确；故答案为：②④17.已知,，则与的夹角为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.参考答案：（1）（2）见解析【分析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.(1)设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从而可得结果；(2)的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，，，=，,，,，，∴的分布列为01234

∴.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19.已知函数f（x）=ex﹣x2+a的图象在点x=0处的切线为y=bx（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（3）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=﹣1，b=1，即可得到f（x）的解析式；（2）令φ（x）=f（x）﹣（x﹣x2）=ex﹣x﹣1，求出导数，单调区间和极值、最值，即可得证；（3）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即为k＜对?x＞0恒成立，运用导数，求得右边函数的最小值，即可得到k的范围．【解答】（1）解：函数f（x）=ex﹣x2+a的导数为f′（x）=ex﹣2x，在点x=0处的切线为y=bx，即有f′（0）=b，即为b=1，即切线为y=x，又切点为（0，1+a），即1+a=0，解得a=﹣1，即有f（x）=ex﹣x2﹣1；（2）证明：令φ（x）=f（x）﹣（x﹣x2）=ex﹣x﹣1，则φ′（x）=ex﹣1，φ′（x）=0，则x=0，当x＜0时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，当x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，则φ（x）min=φ（0）=0，则有f（x）≥x﹣x2；（3）解：若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即为k＜对?x＞0恒成立，令g（x）=，x＞0，则g′（x）=，==，由（2）知，当x＞0时，ex﹣x﹣1＞0恒成立，则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）min=g（1）=e﹣2，则k＜g（x）min=e﹣2，即k的取值范围是（﹣∞，e﹣2）．20.已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．21.（本题满分15分）如图，已知，在空间四边形中，，是的中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）若,求几何体的体积；（3）若为△的重心，试在线段上找一点，使得∥平面.参考答案：（1）证明：∵BC=AC，E为AB的中点，∴AB⊥CE.又∵AD=BD，E为AB的中点∴AB⊥DE.∵∴AB⊥平面DCE∵AB平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，∴CD⊥BD，在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，∴CD⊥AD，∵∴CD⊥平面ABD.所以线段CD的长是三棱锥C-ABD的高。又在△ADB中，DE=∴VC-ABD=（3）在AB上取一点F，使AF=2FE，则可得GF∥平面CDE取DC的中点H，连AH、EH∵G为△ADC的重心，∴G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FG∥EH又∵FG平面CDE，EH平面CDE，∴GF∥平面CDE22.如图，长方体AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点．(1)求证：平面平面；2)试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面F