陕西省西安市师范大学锦园国际中学高三数学理上学期摸底试题含解析

陕西省西安市师范大学锦园国际中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，其中，则有A．

B．C.

D.参考答案：B2.已知点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，则3x+4y的最小值为（）A．5 B．1 C．0 D．﹣5参考答案：D【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．【分析】利用三角变换化简所求表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求出最小值．【解答】解：点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，令x=cosα，y=sinα，3x+4y=3cosα+4sinα=5（cosα+sinα）=5sin（α+θ），其中tanθ=．5sin（α+θ）≥﹣5．可得3x+4y的最小值为：﹣5．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的综合应用，考查计算能力．3.已知点、，直线与线段相交，则的最小值为A. B.

C. D.参考答案：由已知有，作出可行域，令，则的最小值为点到直线的距离，此时，所以的最小值为，选B.4.设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为(

)A．（﹣4，0）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（4，+∞） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣4，4）参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，进而求出f（x﹣2）＞0的解集．【解答】解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出当x＜0时，f（x）＞0的解集，是解决本题的关键．5.存在实数x，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（

）A．[－2,2]

B．(－∞,－2]∪[2,+∞)

C．(－2,2)

D．(－∞,－2)∪(2,+∞)参考答案：D6.下列关于命题的说法错误的是(

)A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C．若命题：，则：；

D．命题“”是真命题．参考答案：D【知识点】命题及其关系A2因为命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：n∈N，2n≤1000，所以C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“x∈（-∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确【思路点拨】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：8.下列各式中，值为的是

A．

B．C．D．参考答案：D9.现有A，B，C，D，E，F六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，A，B各踢了3场，C，D各踢了4场，E踢了2场，且A队与C队未踢过，B队与D队也未踢过，则在第一周的比赛中，F队踢的比赛的场数是（

）A．

1

B．

2

C.

3

D．4参考答案：D10.已知点M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积是(

)A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题．【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．【解答】解：令s=x+y，t=x﹣y，则P（x+y，x﹣y）为P（s，t）

由s=x+y，t=x﹣y可得2x=s+t，2y=s﹣t因为x，y是正数，且x+y≤2有在直角坐标系上画出P（s，t）

s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为4故选C【点评】求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

．参考答案：12.在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点到原点的距离是．参考答案：【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d==．故答案：．13.函数的最小值是

．参考答案：试题分析：，当且仅当14.

已知函数,若函数的图像经过点（3，），则___;若函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是

参考答案：2；若函数的图像经过点（3，），则，解得。若函数是上的增函数，则有，即，所以，即，所以实数a的取值范围是。15.不等式组表示的平面区域的面积是___________.参考答案：不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积。16.若双曲线－=1的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为

．参考答案：217.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，a2=2，Sn+1=an+2﹣an+1（n∈N*），若不等式λSn＞an恒成立，则实数λ的取值范围是．参考答案：λ＞1【考点】数列递推式．【分析】由题知，当n≥2时，有Sn+1=an+2﹣an+1，Sn﹣1+1=an+1﹣an，两式相减得an+2=2an+1，利用等比数列的通项公式与求和公式可得an，Sn，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：由题知，当n≥2时，有Sn+1=an+2﹣an+1，Sn﹣1+1=an+1﹣an，两式相减得an+2=2an+1，又a1=1，a2=2，a3=4，故an+1=2an对任意n∈N*成立，∴，，∴恒成立只需的最大值，当n=1时，右式取得最大值1，∴λ＞1．故答案为：λ＞1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（1）将y表示为x的函数，并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设矩形场地的宽为am，然后求出y的表达式，注明x＞0．（2）利用基本不等式直接求出费用的最小值即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）设矩形场地的宽为am，则y=45x+180（x﹣2）+180×2a=225x+360a﹣360，…∵ax=360∴a=，…∴y=225x+，x＞0；…（2）∵x＞0∴y=225x+≥2﹣360=10440

…当且仅当225x=，即x=24时，等号成立．…当x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元．∵1080＜1566，…∴当x=24m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．…【点评】本题考查函数的综合应用，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆的方程．(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程．参考答案：(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是．

(Ⅱ)设直线的方程是:．因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:．

所以直线的方程是:

．

20.（本大题满分12分）

已知幂函数是增函数，（注：x的指数是）（1）当与垂直时，求的值；

（2）求的最值以及取最值时x的取值集合。参考答案：解：（1）依题设得

，……（6分）21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为m，证明：.参考答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增，，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令，求导得