天津梅江中学高三数学文模拟试卷含解析

天津梅江中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则

A

B．C.

D.参考答案：D2.如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，则成绩在内的频数为（

）A．27

B．30

C．32

D．36

参考答案：D试题分析：由题意，，．故选D．考点：频率分布直方图．3.在平面直角坐标系上的区域M由不等式组给定，若点P为M上的动点，点A（﹣2，1），则?的最大值与最小值的和为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得?的最大值与最小值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设P（x，y），又A（﹣2，1），∴z=?=﹣2x+y，化为直线方程的斜截式：y=2x+z．由图可知，当直线y=2x+z过点A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣2×1+0=﹣2；当直线y=2x+z过点C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣2×0+1=1．∴?的最大值与最小值的和为﹣2+1=﹣1．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，利用数量积得到目标函数是解题的关键，是中档题．4.若，则（

）A. B. C.-1 D.3参考答案：A分析】由，可求出的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用进行代换，分子、分母同时除以，然后把的值代入求值即可.【详解】,,把代入，求得，故本题选A.【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来.5.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是①；

②；

③；

④；

⑤所有正确命题是(A).①②③

(B).①②④

(C).①③⑤

(D).③④⑤参考答案：C6.如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切球的表面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.过点P（-1，1）的直线与圆相交于A、B两点，当|AB|取最小值时，直线的方程是

（）A．

B．

C．

D．

参考答案：D|AB|取最小值，则直线与点P和圆心的连线垂直，所以直线的斜率等于-1，方程为．8.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A） （B）（C） （D）参考答案：D分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.

9.某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）

A.3B.2

C.6D.8参考答案：C

【知识点】由三视图求面积、体积．G2解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．10.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点p在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是A. B. C. D.参考答案：B【知识点】双曲线的标准方程H6

因为焦点为，所以，又因为的中点坐标为（0，2），所以，则此双曲线的方程是。【思路点拨】利用已知条件求出c以及，则可求双曲线的方程。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线与圆没有公共点，则，满足的关系式为

；以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有

个.参考答案：答案：，212.已知函数()（其中e是自然对数的底数）的图像上存在点与的图像上的点关于y轴对称，则实数a的取值范围是____参考答案：【分析】根据题意先设上的一点坐标为，再由该点关于y轴对称写出上的点的坐标为，且两点满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，则有，对这个式子进行整理化简得，令，在定义域内求的值域，即得a的范围。【详解】存在函数图像上的一点与函数图像上一点关于y轴对称，则有，即，，令，则在上单调递增，故.【点睛】本题根据两个函数上的两个点关于y轴对称的条件，可得到含参数的等式，解题关键在于用分离参数的方法，在构造新函数的情况下，将求参数取值范围转化为求函数值域。13.设函数，①函数在R上有最小值；②当b＞0时，函数在R上是单调增函数；③函数的图象关于点（0，c）对称；④当b＜0时，方程有三个不同实数根的充要条件是b2＞4|c|．则上述命题中所有正确命题的序号是

．参考答案：②③④14.已知下列命题：①命题：?x∈（0，2），3x＞x3的否定是：?x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则?x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是

．（只填写序号）参考答案：①②④⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定；②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），；③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=1时，f（x）=1；④，，；⑤，若A＞B，则a＞b，?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，．【解答】解：对于①，命题：?x∈（0，2），3x＞x3的否定是：?x∈（0，2），3x≤x3，正确；对于②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则?x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），正确；对于③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；对于④，等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，故正确．故答案为：①②④⑤【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题．15.(几何证明选讲）如图，内接于圆，，直线切圆于点，交于点.若，则的长为

.参考答案：略16.在数列{an}中，a1=1，an+1=an+1，Sn为{an}的前n项和，若Sn=21，则n=．参考答案：6【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此求出Sn=，再由Sn=21，能求出n．【解答】解：数列{an}中，∵a1=1，an+1=an+1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴Sn=n+=，∵Sn=21，∴=21，解得n=6．故答案为：6．17.在平面直角坐标系xOy中，若曲线（a，b为常数）过点P（1，y0），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则取得最小值时y0值为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】将P的坐标代入曲线方程，求出函数的导数，求得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得2a2+b2=2，再由乘1法和基本不等式可得最小值，求出取得等号的条件，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得y0=a2﹣b2，函数的导数为y′=2a2x+，由题意可得在P处的切线的斜率为2a2+b2=2，则=（2a2+b2）（+）=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=，即有a2=，b2=时，取得最小值，则y0=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数f(x)=aln(x+1)-ax-x2（1）f(x)在x=1处取得极值，求a的值。（2）讨论f(x)在定义域上的单调性；（3）证明：对任意的正整数n，有ln(n+1)<参考答案：（1） 解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．19.（04年全国卷IV文）（12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.参考答案：解析：记“这名同学答对第i个问题”为事件，则

P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6.（Ⅰ）这名同学得300分的概率

P1=P（A1A3）+P（A2A3）

=P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）

=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6

=0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率

P2=P1+P（A1A2A3）

=0.228+P（A1）P（A2）P（A3）

=0.228+0.8×0.7×0.6

=0.564.20.（本题12分）求下列函数的导数：（1）y=（2）y=ln（x＋）（３）y=;

参考答案：解:（1）y′===（2）y′=·（x＋）′=（1＋）=（３）y′==略21.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围；(3)若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.参考答案：(1)

（2）

（3）见解析(1)由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）因为，所以，

①又因为过点，所以，

②联立①②解得，故椭圆方程为.

………………4分(2)将代入并整理得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得.

………………8分(3)设直线的斜率分别为和，只要证明即可.设，，则.

………………10分所以所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形．

………………14分22.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．参考答案：【考点】函数模型的选择