河北省邯郸市道东堡乡中学高三数学理期末试卷含解析

河北省邯郸市道东堡乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=

A．8

B．6

C．6

D．8参考答案：D2.“φ＝”是“函数y=sin(x＋φ)为偶函数的”（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：3.已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，） B．（1，） C．（，） D．（，）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，即b＜a，∴＜a，整理得c＜a，∴e=＜∵双曲线中e＞1∴e的范围是（1，）．故选：B．4.已知定义在实数解R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导函数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x﹣1，由有f′（x）＜1，可得g（x）的导数小于0，g（x）递减，由f（1）=2，可得g（1）=0，再由单调性，即可得到不等式的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，由f′（x）＜1，则g′（x）=f′（x）﹣1＜0，g（x）在R上递减，又f（1）=2，则g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，则不等式f（x）＜x+1，即为g（x）＜0，又g（1）=0，即有g（x）＜g（1），由g（x）为递减函数，则x＞1．故选C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查构造函数运用单调性解不等式的思想，属于中档题．5.5个数依次组成等比数列，且公比为﹣2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可设这5个数分别为a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，由题意计算可得．【解答】解：由题意可设这5个数分别为a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，故奇数项和与偶数项和的比值为=﹣故选：C6.已知i为虚数单位，复数z满足z=i（z﹣i），则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i?z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.设x，y∈R，下列不等式成立的是（）A．1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y| B．1+2|x+y|≥|x|+|y| C．1+2|xy|≥|x|+|y| D．|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|参考答案：A【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据特殊值法判断B、C、D错误，根据排除法判断A正确．【解答】解：对于B，令x=100，y=﹣100，不合题意，对于C，令x=100，y=，不合题意，对于D，令x=，y=﹣，不合题意，故选：A．9.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等．A．①

B．①②

C．①②③

D．③参考答案：C10.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(2013·山东)函数的定义域为________．参考答案：12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若当b，c变化时，存在最大值，则正数的取值范围是________参考答案：【分析】由正弦定理解三角形，将边长转化为角即，代入进行化简，求出函数取得最大值时的结果【详解】由正弦定理可得：,,且为满足存在最大值，令则，当存在最大值时，即解得综上可得故正数的取值范围是【点睛】本题在求含有边长的取最值时，利用正弦定理将其转化为角的问题，这样运用辅助角公式来求解，限制角的范围，求出结果，在解答此类题目时一般将边化为角来求解。13.下面有5个命题：①函数的最小正周期是．②终边在轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．④把函数的图象向右平移得到的图象．⑤函数在上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）参考答案：答案：①④解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．14.已知数列的首项，且，如果是单调递增数列，则实数的取值范围是

．参考答案：(，)15.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若,，则

．参考答案：略16.已知直线和，若，则

.参考答案：17.已知点为椭圆和双曲线的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则=_________.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数(1)若,求在点处的切线方程.（2）令，求证：在区间上，存在唯一极值点.(3)令,定义数列:.当且时,求证:对于任意的,恒有.参考答案：,所以原命题得证.……8分(3),,,19.已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－a(a∈R)．(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；(2)求证：当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．参考答案：(1)当a＝－3时，f(x)＝x3－x2－3x＋3，∴f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x<－1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当－1<x<3时，f′(x)<0，则f(x)在(－1,3)上单调递减；当x>3时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上单调递增．∴当x＝－1时，f(x)取得极大值为f(－1)＝－－1＋3＋3＝；当x＝3时，f(x)取得极小值为f(3)＝×27－9－9＋3＝－6.(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，∴Δ＝4－4a＝4(1－a)．由a≥1，则Δ≤0，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增．∵f(0)＝－a<0，f(3)＝2a>0，∴当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．20.甲厂以x千克∕小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每小时可获得利润是100（5元。

（Ⅰ）.求证：生产a千克该产品获得利润为100a(元.（Ⅱ）.要使生产900千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选择何种生产速度？并求此最大利润。参考答案：（1）证明：生产a千克该产品所需时间为：小时，

每小时可获得利润是100（5元。

所以生产a千克该产品获得利润=100（5

=100a(元（2）生产900千克该产品获得利润=90000(

=-270000

=-270000

则时，即生产速度为x=6千克∕小时，生产900千克该产品获得利润为457500元

略21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.参考答案：(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设底面边长为a,，则高SO=a.于是S,D,C,=,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD.………4分(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=,平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==,故所求二面角的大小为30°.………8分(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一个法向量,且=,=,

设=t(0≤t≤1),=+=+t=,而·=0?t=,即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.

………12分22.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）证明：f（x）为单调增函数；（3）若，求f（x）在上的最值．参考答案：【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法进行求f（1）的值；

（2）根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．【解答】解：（1）∵函数f（x）满足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．证明：（2）设x1，x2∈（0，