上海上宝中学高三数学理模拟试题含解析

上海上宝中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若存在为自然对数的底数，使得，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】单元综合B14由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b），

其中f-1（x）是函数f（x）的反函数

因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为

“存在b∈[1，e]，使f（b）=f-1（b）”，

即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，

且交点的横坐标b∈[1，e]，

∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，

∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，

由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，

令：lnx+x-a=x，则方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx-x，

设g（x）=lnx-x则g′（x）=-=，

当g′（x）=0．解得x=2，

∴函数g（x）=在[1，2]为增函数，在[2，e]上为减函数，

∴g（x）≤g（2）=ln2-1，g（1）=-，g（e）=1-e，

故实数a的取值范围是[-，ln2-1]【思路点拨】利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．2.若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是(

)A．或

B．或

C．

D．或10参考答案：A3.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．96参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+参考答案：B

从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。5.已知数列满足，则通项

；

参考答案：略6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为（A）-1

（B）1（C）3

（D）9参考答案：C

第一次循环，第二次循环，第三次循环不满足条件输出，选C.

7.设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为(

) A． B． C． D．参考答案：B略8.已知是奇函数，且时，（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.已知集合，={0,1,2}，=则= ． ．{0,1} ．{1,2} ．参考答案：A10.若曲线y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，列出方程求解即可．【解答】解：由y=a（x﹣1）﹣lnx，求导得f′（x）=a﹣，依题意曲线y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，得，a﹣，即a=1．故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为

.参考答案：0.2解析：考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。12.在△ABC中，，，，则∠C=__________；a=____________.参考答案：

【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值，进而根据正弦定理可得a的值．【详解】∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cosC，∵C∈（0，π），∴C，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：，解得：a．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=

参考答案：1略14.设是等差数列，的前项和，且，则=

。参考答案：25略15.已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；③函数f（x）的值域为[0，+∞）；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k+1）”．其中所有正确结论的序号是

．参考答案：①③④【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；抽象函数及其应用．【专题】规律型．【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断②命题错误；连续利用题中第③个条件得到③正确；据①③的正确性可得④是正确的．【解答】解：①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正确；②f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；③取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x从而f（x）∈[0，+∞），正确④根据③的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①③④．故答案为①③④【点评】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．16.甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有

种不同的传递方法．（用数字作答）参考答案：

60种17.若点（其中）为平面区域内的一个动点，已知点,O为坐标原点，则的最小值为_____________。参考答案：13【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部．根据题意，将目标函数对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．【详解】点坐标为，点坐标为，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得，将直线进行平移，可得当经过点时，目标函数达到最小值，．故答案为：13．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求二面角C1﹣DE﹣C的正切值；（Ⅲ）在侧棱BB1上是否存在点P，使得CP⊥平面C1DE？证明你的结论．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出相关点的坐标．（Ⅰ）求出平面C1DE的一个法向量，，通过数量积为0，推出BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求出平面ABCD的一个法向量，利用向量的数量积求解夹角的余弦函数值，然后求解二面角C1﹣DE﹣C的正切值．（Ⅲ）假设侧棱BB1上是否存在点P，使得CP⊥平面C1DE，设P（2，2，t），利用与共线，列出不等式组，求解即可．【解答】解：以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，则B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（1，2，0），∵DC⊥AD是棱△ABC的中点，∴E（1，2，0），（Ⅰ）设平面C1DE的一个法向量为，则，∵，∴，∴，又DE?平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）平面ABCD的一个法向量为，∴，，，∴二面角C1﹣DE﹣C的正切值为；（Ⅲ）假设侧棱BB1上是否存在点P，使得CP⊥平面C1DE，设P（2，2，t），则，且与共线，∴存在实数λ使得，即这样的λ不存在，∴在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE．19.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直线的参数方程为（t为参数，），设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.参考答案：（1）曲线的方程是，化为，化为，所以，曲线的方程，当时，直线，代入方程，解得或，所以。（2）将代入到，得，由，化简得，所以，所以，所以20.（13分）已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．参考答案：解析：（I）当时，由已知得．因为，所以．

……①于是．

……②由②－①得．

……③于是．

……

④由④－③得，

……⑤所以，即数列是常数数列．（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，，，数列是单调递增数列且对任意的成立．且．即所求的取值集合是．（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以时，，从而，所以在和上都是增函数．由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以．取，因为，所以．所以，即弦的斜率随单调递增．解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，．故，即弦的斜率随单调递增．21.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD

参考答案：证明：(1)∵E、F分别是AP、AD的中点∴EF‖PD

…………1分又∵平面PCD，…………2分平面PCD

…………3分∴直线EF‖平面PCD…………4分（2）∵AB=AD，∠BAD=60°∴△ABD是正三