湖南省娄底市石马山中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖南省娄底市石马山中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(A) (B) (C) (D)参考答案：A2.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是A．

B．

C．

D．参考答案：A3.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为(

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线，直线，直线b∥平面α，则b∥a”的结论显然是错误的，这是因为

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误参考答案：A5.复数,则

（

） A．25 B． C．5 D．参考答案：C略6.已知集合，，则（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先求出集合B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．【详解】由得x＞0，所以B＝{x|x＞0}．所以A∩B＝{x|0<x<1}．，故选：C．【点睛】本题考查交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是基础题．7.已知展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则：

(A)

(B)

(C

(D)参考答案：A略8.已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则k的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，，则，解得：设，，则，解得：，则本题正确选项：【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.9.下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件.其中所以真命题的序号是A．③

B.②③

C.①②

D.①③参考答案：B略10.如图，一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为.则该组合体的表面积为()．A．15π

B．18π

C．21π

D．24π[来参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．△ABC的外接圆半径为1，,若边BC上一点D满足，且，则△ABC的面积为______参考答案：∵△ABC的外接圆半径R为1，，∴由正弦定理，可得：sinA=，∵边BC上一点D满足BD=3DC，且∠BAD=90°，∴A=120°，∠CAD=30°，BD=a=，CD=a=，∴如图，由正弦定理可得：，所以所以故填.12.如图，在矩形中，

，，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是

▲

．

参考答案：答案：13.观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N*，则m﹣n=．参考答案：﹣6【考点】类比推理．【分析】裂项相消，求出m，n，即可得出结论．【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++∴+=∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N*，∴m=6，n=12．∴m﹣n=﹣6．故答案为：﹣6．14.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余的7个分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

，则该图中x的值为_____．参考答案：415.过原点作曲线的切线，则切线方程为

．参考答案：略16.若直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于．参考答案：2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x+y﹣2=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2．故答案为：2．17.设复数z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为．参考答案：考点：复数求模．专题：计算题．分析：首先利用复数莫得公式求模，然后利用三角函数进行化简，由|z|≤2得到不等式，然后根据a的符号把该不等式分类转化为不含三角函数的不等式，求解后对a取并集即可得到答案．解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i，所以===（tanα=2）．因为|z|≤2，所以．若a=0，此式显然成立，若a＞0，由，得，解得．若a＜0，由，得，解得．所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为．故答案为．点评：本题考查了复数模的求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差是．

依题意，从而．

………2分

所以，解得．

………4分所以数列的通项公式为．

…6分（Ⅱ）由数列是首项为，公比为的等比数列，

得，即，

所以．

……8分

所以

．

……10分

从而当时，；

……11分

当时，．

………13分19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。参考答案：解：（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.

设点的坐标为

由题意得

化简得

.

故动点的轨迹方程为…5分（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.

则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积又直线方程为，，点到直线的距离.于是的面积

当时，得又，所以=，解得。∵，∴故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.……12分解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为

则.

因为,

所以

所以

即，解得

∵，∴故存在点使得与的面积相等，

此时点的坐标为.……12分20.（本小题满分14分）已知函数，．（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数、的值；（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；（3）若，，且曲线与总存在公切线，求正实数的最小值．参考答案：（1），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴，解得，．

………3分（2）设，则由题设有

…①又在点有共同的切线∴代入①得…………5分设，则，∴在上单调递增，所以＝0最多只有个实根，从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是

……………7分（3）当，时，，，曲线在点处的切线方程为，即．由，得．∵曲线与总存在公切线，∴关于的方程，即

总有解．

…………9分若，则，而，显然不成立，所以．………10分从而，方程可化为．令，则．∴当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，所以，要使方程有解，只须，即．……14分21.

甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.

（1）求的分布列及数学期望；

（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求实数的取值范围.参考答案：(1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的