2024年-材料的弹性变形

材料物理性能第一部分：材料的力学性能12024/5/142力学性能弹性变形粘性流动断裂塑性变形高温蠕变2024/5/14第一章：材料的弹性变形主要内容：

一.应力和应变；二.胡克定律；三.弹性模量；四.滞弹性。要求：

从微观的角度来理解宏观性能、掌握解决问题的关键。32024/5/141.基本概念

变形：材料在受到外力作用时产生的形状和体积的变化；

弹性变形：外力除去后，变形也消失的变形过程；

塑性变形：当外力除去后，不能恢复的变形过程。42024/5/14弹性变形的特征：可逆性，即受力作用后产生变形，卸除荷载后，变形消失。

弹性体——胡克定律：在施加给材料的应力F和所引起的应变D之间的线性关系：F=M.D式中：M——比例常数，与材料性质有关的物理常数，不随施加应力的大小而变化，称为弹性模量（模量）。弹性变形52024/5/14

注意：弹性模量M依应力状态的形式而异；对于各向同性材料而言，单向拉伸或压缩时用正弹性模量E（杨氏模量）来表征；当受到剪切变形时用剪切弹性模量G（切变模量）来表征。分别表示为：弹性变形62024/5/14弹性变形

弹性模量E、G的物理意义：产生单位应变所需施加的应力，是材料弹性形变难易的衡量，也表征着材料恢复形变前形状和尺寸的能力。

微观上：弹性模量代表了材料中原子、离子或分子间的结合力。72024/5/142.受力形变

内力－变形引起的物体内部附加力。F1F3F2FnF1F2F3Fn外力内力82024/5/14内力与变形有关FFFFN=F受力与变形特点92024/5/14受力与变形特点内力与变形有关M0M＝M0M0M0102024/5/14内力必须满足平衡条件作用在弹性体上的外力相互平衡。内力与外力平衡；内力与内力平衡。F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力受力与变形特点112024/5/14

内力－变形引起的物体内部附加力，内力不能是任意的，内力与变形有关，必须满足平衡条件。内力特点受力与变形特点122024/5/143.工程构件受力模型拉伸压缩132024/5/143.工程构件受力模型剪切142024/5/143.工程构件受力模型扭转152024/5/143.工程构件受力模型弯曲162024/5/143.工程构件受力模型弯曲172024/5/143.工程构件受力模型组合受力182024/5/144.强度、刚度和稳定性问题强度—不因发生断裂或塑性变形而失效；刚度—不因发生过大的弹性变形而失效；稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失效。192024/5/141.1应力和应变一、应力（1）定义：分布在单位面积上的内力，揭示了内力在在截面上的聚集程度，即：式中：F—外力；

σ—应力，单位为Pa；A—面积。202024/5/14（A0加载前的面积）（Ai瞬时截面积）工程应力（名义应力）——常用：真实应力（实际应力）：故：工程应力＜真实应力。一、应力211.1应力和应变2024/5/1422一、应力（2）应力及其方向的描述xyz

zx

xy

yy

xx

zz

yz

zy

yx

xz应力分量S围绕材料内部一点P，取一体积单元2024/5/1423（2）应力及其方向的描述下脚标的意义：每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：第一个字母表示应力作用面的法线方向；第二个字母表示应力的作用方向。方向的规定：正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力为负。剪应力的正负号规定：正剪应力负剪应力2024/5/14一、应力（2）应力及其方向的描述由于:故一点的应力状态由六个应力分量表示:24xyz

zx

xy

yy

xx

zz

yz

zy

yx

xz应力分量S2024/5/14应变：是用来描述物体内部各质点之间的相对位移的。（1）名义应变：（2）真实应变：二、应变

拉伸应变：是指材料受到垂直于截面积的大小相等、方向相反并作用在同一条直线上的两个拉伸应力时材料发生的形变。252024/5/14二、应变（3）剪应力和剪应变：

剪切应变：是指材料受到平行于截面积的大小相等、方向相反的两个剪切力时发生的形变。即物体内部一体积单元上的两个面元之间的夹角变化。262024/5/14二、应变（4）压缩应变：

压缩应变：是指材料周围受到均匀应力P时，其体积从开始时的V0变化为V1的形变。272024/5/14三、应力与应变曲线材料的受力形变三种情况：脆性材料(非金属材料)：只有弹性形变，无塑性形变或塑性形变很小。延性材料(金属材料)：有弹性形变和塑性形变。弹性材料(橡胶)：弹性变形很大，没有残余形变（无塑性形变）。282024/5/14三、应力与应变曲线

固体材料在外力作用下发生形状和体积变化，这种变化可能是可逆的、不可逆的，甚至发展到材料的断裂，基础是材料的本性和力的情况。

B

ACDKO292024/5/14三、应力与应变曲线

A（A点）：比例极限；E（B点）：弹性极限；P（C点）：屈服极限；U（D点）：断裂极限。应力E，可逆线性正比例关系，当应力在E和P之间，外力去除后有一定程度的永久变形，即发生塑性变形。陶瓷材料一般没有塑性变形，发生脆性断裂。30

B

ACDK2024/5/14三、应力与应变曲线脆性材料312024/5/14三、应力与应变曲线韧性金属材料322024/5/14三、应力与应变曲线聚合物332024/5/14三、应力与应变曲线

弹性行为

p比例极限

e弹性极限342024/5/14三、应力与应变曲线

屈服行为

s屈服强度352024/5/14三、应力与应变曲线36不同材料的应力-应变曲线2024/5/141.2弹性变形1.2.1狭义胡克定律（各向同性体）弹性变形：材料在外力作用下产生变形，当外力撤除后材料又能恢复到原来的形状，这种具有可逆性的变形叫做弹性变形。弹性变形——胡克定律。372024/5/14381.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（1）单向应力（单元体仅在x方向受到正应力）

xLLbcc

b

xzxy2024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（1）单向应力（单元体仅在x方向受到正应力）

对于各向同性体，正应力不会引起长方体的角度改变即无剪切形变，只会产生法向应变，而且应力与应变成线性关系，即长方体的单位伸长可表示为：式中：E——弹性模量，对各向同性体为一常数。392024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（1）单向应力（单元体仅在x方向受到正应力）当长方体伸长时，侧向要发生横向收缩，由σx引起的，在y、z方向的收缩为：定义横向收缩系数ν为：式中：

ν叫泊松比。402024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（1）单向应力则：=εz412024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（2）三向应力（x、y、z三个方向均施加正应力）422024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（3）剪切应变xy面yz面xz面G为切变模量E、G、ν之间的关系：432024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（4）压缩应变体积模量K

受力前体积：变形后：变形后体积：442024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）（4）压缩应变452024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）E、G、K、ν为本征参数，与外界条件无关。对于各向同性材料，4个参数各个方向一致。462024/5/141.2.1狭义胡克定律（各向同性体）注意：

以上各种结果是假定材料为各向同性体得出的。对于大多数多晶材料来说，虽然微观上各晶粒具有方向性，但因晶粒数量巨大，且排列混乱，故宏观上可以当做各向同性体处理；

单晶及其有织构的材料或复合材料（用纤维增强的）具有明显的方向性，此时，各种弹性常数将随方向而不同，胡克定律将有更一般的应力-应变关系。对于弹性变形，一般材料的泊松比在0.2-0.3之间，大多数材料为0.2-0.25。陶瓷材料的弹性模量E随材料不同变化范围很大，约在109-1011N/m2。472024/5/141.2.2广义胡克定律（各向异性体）各向异性材料的各个方向的弹性模量都不相同；当各向异性材料同时受到三向应力作用时，各个方向的形变也是不同的，因而各个方向的泊松系数也随应力的方向变化；除正应力对应变有影响外，剪应力也会对应变产生影响；除剪应力对剪应变有影响外，正应力也会对剪应变产生影响。482024/5/141.3弹性模量的物理本质及其影响因素1.3.1弹性模量的微观描述材料受力的宏观表现——弹性变形；微观表现——内部质点产生相对位移。（1）原子平面偏离平衡位置；（2）键力发生变化，内力贮存；（3）内力作用下，回到平衡位置。原子受力偏离平衡位置，原子自身键力作用回原点趋势；施加外力变形，能量守恒，力的能量贮存在材料中，即弹性应变能。492024/5/14501.3.2弹性模量的本质rrror

12＋－＋－FUm原子间作用力及其势能和距离的关系2024/5/141.3.2弹性模量的本质（1）原子间的相互作用力和弹性常数间的关系当r=r0，F=0，平衡位置。结论：弹性模量的大小是原子间作用力—位移曲线在平衡位置时的斜率大小。本质：弹性模量是原子间键和强度的表征。512024/5/141.3.2弹性模量的本质（2）双原子间势能的曲线弹性常数Ks值的大小实质：反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。即，势能最小值越低，则势阱越深，改变原子之间的相对距离所做的功越大，弹性模量越大。

共价键的势能曲线的谷比金属键和离子键的深，因此，它的弹性刚度系数比金属键和离子键的大。52rrror

12＋－＋－FUm2024/5/141.3.2弹性模量的本质金属材料：其弹性限度仅为0.2%，超过这个范围便发生塑性变形。原因：金属中总有大量的位错存在，由于金属键使得位错滑移很容易发生，从而大大降低了其理论强度。陶瓷材料：硬而脆，即其弹性模量很高（通常为金属的10倍），但其变形量很小，以至于很难利用拉伸实验获得弹性模量的数据。原因：陶瓷的键合通常为离子键或共价键，原子之间的相互作用力很强，相互之间键角十分固定，以至于很难变形；532024/5/141.3.2弹性模量的本质材料内部的微观缺陷（如位错、空位、晶界和微裂纹）也显著降低了理论强度，而且，由于键合特点，使得陶瓷的应力释放以裂纹扩展为主，而不像金属那样依靠位错的滑移而进行。高分子材料：宏观变形量特别大，很容易发生大的弹性变形；弹性模量很小。原因：系统内能的增加带来自由能的增加导致了常规弹性的产生，而系统熵的减小所引起的自由能的增加则是高弹性产生的根本原因。542024/5/141.3.3弹性模量的测试（1）静力法在静荷载下，通过测量应力和应变建立它们之间的关系曲线（如拉伸曲线），然后根据胡克定律以弹性形变区的线性关系计算模量值。（2）动力法（常用）利用材料的弹性模量与所制成试棒的本征频率或弹性应力波在材料中传播速度之间的关系进行测定和计算。552024/5/14561.3.3弹性模量的测试（2）动力法优点：动力法能给出准确的结果；方法灵活，即在对试样没有很强的作用下，可以在同一个试样上跟踪研究不同的连续变化因素与弹性模量的关系。2024/5/141.3.4影响弹性模量的因素（1）原子结构的影响

短周期，随原子序数的增加而增加；原因：与价电子数目的增加及原子半径的减小有关。

同一族元素，随原子序数增加而降低；原因：与价电子数目不变而原子半径的增大有关。过渡族金属的E都比较大。原因：d层电子引起较大原子结合力。57常温下，弹性模量随着原子序数的增加也呈周期性变化。2024/5/1458（2）晶体结构的影响

各向异性——面网距离；结构不同，E大小也不同。（3）硅酸盐结构的影响

1.3.4影响弹性模量的因素晶体结构越复杂，E越大。架状：三维空间网络，不同方向的键合基本相同，E各向几乎相同；链状：沿链方向键合强度最大，因此沿链方向的E比其他两个方向大；2024/5/14591.3.4影响弹性模量的因素（3）硅酸盐结构的影响

层状或环状：在层的两轴向键强大，弹性常数也大，且相等；而键强在另一轴向弱，弹性常数也小，因此表现出较大的各向异性。

在⊥层，原子结合力弱，分子间作用力小，故E小；

在∥层，共价键结合，结合力强，分子间作用力大，故E大。2024/5/1460架状结构－石英SiO2C11=C22=0.9,C33=1.0石英玻璃SiO2C11=C22=C33=0.8单链状硅酸盐霓辉石NaFeSi2O6C11=1.9C22=1.8C33=2.3普通辉石(CaMgFe)SiO3C11=1.8C22=1.5C33=2.2透辉石CaMgSi2O6C11=2.0C22=1.8C33=2.4双链状硅酸盐角闪石普通角闪石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2C11=1.2C22=1.8C33=2.8环状硅酸盐绿柱石Be3Al2Si6O8C11=C22=3.1C33=0.6电气石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18C11=C22=2.7C33=1.6层状硅酸盐黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.9C33=0.5白云母KAl2(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.6金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.5×1012达因/厘米22024/5/1461（4）温度的影响1.3.4影响弹性模量的因素温度升高，原子的热运动加剧，引起晶格势能曲线曲率的变化，故E也随之变化；温度升高，材料的体积膨胀。故温度T对弹性模量E的影响比较复杂。2024/5/14式中：E，E0——分别为温度为T和0K时的弹性模量；T——热力学温度；b，T0——由物质而定的经验常数。b=2.7～5.6；T0=180～230K。（4）温度的影响1.3.4影响弹性模量的因素622024/5/14631.3.4影响弹性模量的因素（5）组成（两相系统的弹性模量）对E的影响

①两相交替排列，并联系统（上限模量Eu）假设：两相系统的泊松比ν相同两相系统的应变ε相同由假定可知：ν1=ν2（即横向变形系数相等，结合良好）ε1=ε22024/5/1464（5）组成（两相系统的弹性模量）对E的影响

①两相交替排列，并联系统（上限模量Eu）FFAB2024/5/1465（5）组成（两相系统的弹性模量）对E的影响

②两相串联系统（下限模量EL）假定：两相应力相同，即σ1=σ2。初始条件：原始长度为L0，受力后长度增加为L，即试样的长度变化为：ΔL=L-L0。∴ΔL=ΔL1+ΔL2，∵ΔL=εL∴εL=ε1L1+ε2L22024/5/1466（5）组成（两相系统的弹性模量）对E的影响

②两相串联系统（下限模量EL）FF一般：EL<E实<EU

2024/5/14（6）气孔的影响①假定条件：a.气孔是球形；b.均匀分布当气孔率在小范围内时（小于10%），弹性模量随气孔率的增加而线性降低：1.3.4影响弹性模量的因素67当气孔率增大时，将不是线性关系：其中b——常数，当P在40%以内时，b=3.95.2024/5/1468②假定条件:基体连续，气孔密闭：（6）气孔的影响1.3.4影响弹性模量的因素当气孔率达到50%时，此式仍适用。

结论：气孔率P越大，有效承载面积越小，则弹性模量E越小。2024/5/1469材料E(Gpa)材料E(Gpa)氧化铝晶体380烧结TiC(P=5%)310烧结氧化铝（P=5%

）366烧结MgAl2O4(P=5%)238高铝瓷（P=90－95%

）366密实SiC(P=5%)470烧结氧化铍（P=5%

）310烧结稳定化ZrO2P=5%

150热压BN（P=5%

）83石英玻璃72热压B4C（P=5%

）290莫来石瓷69石墨（P=20%

）9滑石瓷69烧结MgO（P=5%

）210镁质耐火砖170烧结MoSi2（P=5%

）407（6）气孔的影响2024/5/141.4滞弹性

1.定义：与时间有关的弹性，弹性模量依赖于时间。弹性应变时，原子的位移是在特定时间内发生的一个