2024年-二次函数与一元二次方程的关系

九年级数学(下)第二十七章二次函数27二次函数与一元二次方程1

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=。方程根的情况是：当△﹥0

时方程

；当△=0时，方程

；当△﹤0时，方程

。b2-4ac有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条

，抛物线复习提问21、二次函数图像与x轴交点个数有几种情况？想一想，画一画xy0三种可能：①两个交点②一个交点③没有交点。自主学习一：3(1).图象y=x2+2x与x轴交点个数()一元二次方程x2+2x=0根的个数()(2)图象y=x2-2x+1与x轴交点个数()一元二次方程x2-2x+1=0根的个数()(3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数()一元二次方程x2-2x+2=0根的个数()

二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图：y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2自主学习二：二次函数与x轴交点与一元二次方程的根有什么关系?两个交点一个交点没有交点△﹥0，有两个不相等实数根△=0，有两个相等实数根△﹤0无实数根4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0想一想填一填5自主学习三：二次函数图象和x轴交点坐标与

一元二次方程的根有什么关系?

y=x2+2x与x轴交点X1=-2X2=0(-2,0)(0,0）x2+2x=0方程的根是令y=0交点的横坐标是一元二次方程的根（2,0）（4,0）X1=2X2=4y=x2-6x+8与x轴交点是x2-6x+8=0方程的根是令y=06与x轴交点的横坐标是当y=0时自变量x的值

即方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点坐标与一元二次方ax2+bx+c=0的根有什么关系?想一想

72.抛物线y=x2-4x+4与轴有

个交点，坐标是

。3.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A两个交点B一个交点C没有交点D画出图象后才能说明1.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是

。（-2，0）、（3，0）一（2，0）4不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。解：∵解方程x2-3x-4=0得：x1=-1，x2=4∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：

(-1，0)和(4，0)跟踪练习一5.若函数图象与x轴是只有一个公共点,求m的值.

解：∵图象与x轴是只有一个公共点则△=0即36-4m=0∴m=9c8101xyMN232y=x2-4x+4

一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4的图象与直线（）交点的横坐标能力升华

．．直线y=1

一元二次方程x2-4x+4=0的根是函数

y=x2-4x+4的图象与（）交点的横坐标。10xN2y=x2-4x+4．直线y=0直线y=0y

方程x2-4x+4=1的根（x1=x2=)13X轴直线y=1(x-2)2=1(x-2)=±1X-2=-1或x-2=19想一想

一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c的图象和交点横坐标yx0．直线y=k

．直线y=kx1x210跟踪练习二函数的图象y=ax2+bx+c如图所示，那么(1)关于ax2+bx+c=0的一元二次方程的根的情况是()(2)关于ax2+bx+c=4的一元二次方程的根的情况是()(3)关于ax2+bx+c=2的一元二次方程的根的情况是()

xy04-2Y=0Y=4Y=22两个不相等的实数根无实数根两个相等的实数根111).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.由上抛小球落地的时间想到竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+40t表示例1学以致用ht2468204006080100．．122）小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m,你是如何知道的，你有几种方法3）对于上题来说，方程-5t2+40t=80的根的实际意义是什么？ht2468204006080100（2）方法二：利用方程：把h=60代入得-5t2+40t=60解得x1=2x2=6-5t2+40t=80当h=80时，相对应的t(1)方法一：利用图像13简单运用答案：（1）A（-1，0），B（4，0）；（2）x=-1或4；（3）x=-1或4；（4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。14例题精析15小试牛刀答案：（1）△＞0，函数的图象与x轴有两个交点；（2）△＝0，函数的图象与x轴有一个交点；（3）△＜0，函数的图象与x轴没有交点。16思维迁移1718基础过关BD19能力提升证明：∵△===又∵不论m为何值，∴＞0∴△＞0，∴无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.20课堂小结21想一想议一议若二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1,0)(X2,0),则二次函数的表达式可表示为这种表示方法称为二次函数的交点式。若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1,x2则一元二次方程可化为Y=a(x-x1)(x-x2)(x-x1)(x-x2)=0友情提示：二次函数有哪几种表达形式？22解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－2）因为：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？yox点M(0,2)在抛物线上所以：a(0+1)(0-2)=2得：a=-1故所求的抛物线为y=-(x＋1)(x-2)即：y=－x2+x+2思考：你能用什么方法做呢?哪个方法更好?

例2

要化成一般式23课堂小结2.二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+cax2+bx+c=ky取定值k方程的根交点的横坐标与直线y=k1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定3.用交点式求二次函数表达式数形结合的思想240xy-211、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示，请写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根2、抛物线y=-3（x－2）（x＋5