湖南省长沙市一中教育集团2022-2023学年八下期中数学试题（解析版）

2022－2023学年度第二学期八年级期中考试数学试题卷注意事项：1.答题前，请先将自已的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚；2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本试卷时量120分钟．满分120分．一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．【详解】解：A、，计算错误，不符合题意，选项错误；B、，计算正确，符合题意，选项正确；C、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意，选项错误；D、，计算错误，不符合题意，选项错误，故选B．【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．2.以下各数是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；B、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；D、最简二次根式，故本选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．3.张华是初三的一名男生，今年三月，他参加了招飞体检测评，他的身高、体重和视力等各项指标均达到了合格标准，你认为他的身高和下面哪一个数值最接近？（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】估算各无理数，然后根据题意分析判断即可．【详解】解：∵，，，，∴若张华的身高指标均达到了合格标准，则他的身高与米最接近．故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题关键．4.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解．【详解】解：赵爽弦图，是个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，中间小正方形的边长为，∴选项，是赵爽弦图，符合题意；选项，不是赵爽弦图，不符合题意；选项，不是赵爽弦图，不符合题意；选项，不是赵爽弦图，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查对赵爽弦图的理解，掌握勾股定理的证明方法，赵爽弦图证明勾股定理的方法是解题的关键．5.为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位线的性质即可求解．【详解】解：∵点是的中点，∴，，∴，即之间的距离是，故选：．【点睛】本题主要考查中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．6.如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据作图痕迹可以得到是的角平分线，根据等边三角形的性质，得到是含的直角三角形，进行计算即可．【详解】解：由作图痕迹可知：是的角平分线，∵是等边三角形，边长为2，∴，，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形性质，以及勾股定理．根据作图痕迹，得到是的角平分线，是解题的关键．7.如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】A【解析】【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，∵，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．8.近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，下图为淘宝某商家从2022年12月初到2023年春节共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（）A.第7周销量最高，是3500个B.第1周到第7周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大C.第3周和第5周的销量一样D.在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周【答案】B【解析】【分析】结合图象，逐项判定即可．【详解】解：A、根据统计图可知：第7销量为3500个，销量最高，原说法正确，故此选项不符合题意；B、根据统计图可知：第1周到第4周，周销量y（个）随时间t（周）增大而增大，第4周到第5周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而减小，原说法错误，故此选项符合题意；C、根据统计图可知：第3周销量为2000个，第5周的销量为2000个，两周销量一样，原说法正确，故此选项不符合题意；D、根据统计图可知：第3周比第2周销量增加(个)，第6周比第5周销量增加(个)，所以周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，原说法正确，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查函数图象，从函数图象获取所要信息是解题的关键．9.为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（）A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米【答案】C【解析】【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．【详解】解：如图，过点D作于点E，∵米，米，米，∴（米）．在中，由勾股定理得到：（米），故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．10.在密码学中、直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母a，b，c，…，z（不分大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，明码和密码相同的序号为（）字母abcdefghijklm序号12345678910111213字母nopqrstuvwxyz序号14151617181920212223242526A.3 B.26 C.3和26 D.1和26【答案】C【解析】【分析】分序号x为奇数和序号x为偶数两种情况进行求解，即可得出结果．【详解】解：当序号x为奇数时，则：，解得：；当序号x为偶数时，则：，解得：；综上：明码和密码相同的序号为3和26；故选C．【点睛】本题考查一次函数的应用．正确的理解题意，得到到自变量和函数值相等，列出方程，是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.计算：_____．【答案】【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．12.方程的解为__________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质即可求解．【详解】解：∵中，且，∴，解得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查根据二次根式的性质解方程，掌握二次根式的性质，解方程的方法是解题的关键．13.小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妺妺说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①，，；图形②，，．请你用所学知识判断：图形__________是直角三角形．【答案】①【解析】【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可．【详解】解：∵，∴图形①是直角三角形；∵，∴图形②不是直角三角形；故答案为：①【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方和，三边构成的三角形是直角三角形，是解题的关键．14.点，在一次函数的图象上，则______．（填“>”、“<”或“＝”）【答案】【解析】【分析】判断出一次函数的增减性即可得到答案．【详解】解：∵一次函数解析式为，，∴对于一次函数而言，y随x增大而增大，∵，在一次函数的图象上，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．15.在一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为___________．【答案】

【解析】【分析】根据，，时，函数图象经过第一、二、四象限，则有即可求解；【详解】解∶的图象经过第一、二、四象限，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数，k与b对函数图象的影响是解题的关键．16.如图，在菱形中，对角线，的交点为，，．若点在上，且，则的长为_______．【答案】####4.8【解析】【分析】根据菱形的性质以及勾股定理，可求得，进而可知，由菱形的面积公式可知；由，可得，求解即可得到答案．【详解】解：∵四边形为菱形，，，∴，，∴在中，由勾股定理可得，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、求菱形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质，并学会利用面积法解决问题．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算：．【答案】【解析】【分析】根据零指数幂的运算法则、绝对值的性质，二次根式的化简，负指数幂的运算法则即可解答．【详解】解：；【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则、绝对值的性质，二次根式的化简，负指数幂的运算法则，掌握对应法则是解题的关键．18.如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米．（1）是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；（2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米．【答案】（1）是，说明见解析（2）千米【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；（2）在中根据勾股定理解答即可．【小问1详解】解：是，说明如下：∵在中，，又，是以为直角的直角三角形，，∵点到直线垂线段的长度最短，是村庄C到河边的最近路．【小问2详解】由题意，得：（千米）在中，由勾股定理得：（千米），比少千米．【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．19.如图，平行四边形中，点分别在的延长线上，，，垂足为点，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求的长．【答案】（1）见解析；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意平行四边形的性质可得到，再根据已知条件及平行四边形的判定即可解答；（2）根据直角三角形的性质得到，再利用平行四边形的性质得到即可解答．【小问1详解】解：∵在平行四边形中，∴，即∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：∵在平行四边形和中，∴，,∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质及判定是解题的关键．20.如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．（1）求证：是等腰三角形；（2）若，，求图中的面积．【答案】（1）见解析（2）40【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而得到可得到结论；（2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而利用面积公式进行求解即可．【小问1详解】解：∵四边形是长方形即矩形，∴，∴，∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；【小问2详解】解：∵，，∴，，设，则：，在中，即，解得：，∴，∴．∴图中的面积为．【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．21.如图，已知直线经过点和点．（1）求直线的解析式；（2）若直线与轴交于点，与直线交于点，求点与点的坐标；（3）在（2）的条件下，求的面积．【答案】（1）（2）点坐标为，点坐标为（3）9【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式即可；（2）对于直线，令，则，即可确定点坐标；将直线的解析式和直线的解析式联立，求解即可求得点坐标；（3）设直线与轴交于点，首先求得点坐标，然后根据即可获得答案．【小问1详解】解：根据题意，直线经过点和点，则有，解得，∴直线的解析式为；【小问2详解】对于直线，令，则，∴点坐标为；将直线的解析式和直线的解析式联立，可得，解得，∴点坐标为；【小问3详解】设直线与轴交于点，如下图，对于直线，令，可得，解得，故点坐标为，∴，又∵点坐标为，点坐标为，∴．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组的应用、一次函数图像与坐标轴交点等知识，熟练掌握相关知识并运用数形结合的思想分析问题是解题关键．22.受疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对电脑的需求激增．某厂家准备3月份紧急生产A、B两种型号的电脑，其中A型号电脑每台的利润为600元，B型号电脑每台的利润为800元．该厂家计划生产两种型号的电脑共100台，其中生产A型号电脑的数量不少于B型号电脑数量的2倍，设生产了A型号电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该厂家生产A型号、B型号电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）A型67台，B型33台；66600元【解析】【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；

（2）根据A型号电脑的数量不少于B型号电脑数量的2倍，可以求得B型电脑数量的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少．【详解】（1）解：∵A型号电脑生产了台∴B型号电脑为台∴（2）由题意得：∴∵∴∴随增大而减小∴当时，获利最大，此时当，最大获利为：元答：当A型电脑生产67台，B型电脑生产33台时，销售利润最大，最大利润为66600元【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23.如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F．（1）求，的度数；（2）求证：；（3）求的值．【答案】（1），（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到为等腰三角形，利用等边对等角求出的度数，利用外角的性质求出的度数；（2）连接，求出，即可得证；（3）连接，交于点，易得，进而得到，根据，即可得出结果．【小问1详解】解：∵正方形，等边，∴，，∴，∴；∴；【小问2详解】连接，同法（1）可得：，∵正方形，等边，∴∴，∴，∴；小问3详解】连接，交于点，则：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，是解题的关键．24.如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为的芙蓉线，点为芙蓉点．这个的角为芙蓉角．（1）若直线为轴，直线的解析式为，当为的芙蓉线时，的值为________；（2）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点是轴上点右侧的一点，且（），点在直线上，其横坐标为，判断是否为芙蓉角，并说明理由；（3）直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的芙蓉线．①求M点的坐标；②点N是直线上异于点C的一个动点，当为直线的芙蓉线时，直接写出相应的芙蓉点的坐标．【答案】（1）或（2）是，理由见解析（3）①或②或【解析】【分析】（1）易得直线与直线相交于点，根据芙蓉线的定义，求出与轴的交点，即可求出值；（2）根据题意，画出图象，证明，推出，进行判断即可．（3）①分点在点的左侧和右侧，两种情况，进行讨论求解．②分，两种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵，∴当时，，即直线必过；∵直线为轴，直线的解析式为，为的芙蓉线，∴点，直线与轴的夹角为，当时：如图，，则：，∴，∴，代入，得：，解得：；当时：如图，同法可得：，代入，得：，解得：；综上：的值为或；故答案为：或；【小问2详解】解：是芙蓉角，理由如下：∵，当时，，当时，，∴，∴，∵点是轴上点右侧的一点，且（），∴，∴，∵点在直线上，其横坐标为，∴，过点作轴于点，则：，，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴，∴是芙蓉角；【小问3详解】①∵，当时，；当时，，∴，∴；当点在点左侧时：过点作，过点作轴于点，则：，∴，∴，∵直线是直线的芙蓉线，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，∴；当点在点右侧时：过点作，过点作轴于点，同法可证：∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，∴；综上：或；②当，如图，由题意，得：，∴，过点作轴，则：，∴，∴，∴，∴，∴；当，如图：过点作轴于点，同上法可证：，∴，∴，∴；综上：或．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，坐标与图形．理解并掌握芙蓉线，芙蓉角的定义，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．25.如图1，四边形为菱形，点为线段上的