专题06 解直角三角形的应用（原卷版）

2/2专题06解直角三角形的应用目录热点题型归纳 1题型01仰角与俯角问题 1题型02坡度问题 4题型03方位角问题 6中考练场 9题型01仰角与俯角问题【解题策略】仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．【典例分析】例．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【变式演练】1．（2024·山西朔州·一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度为米，塔前“女神雕像”的高度为米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图所示）：①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台，测得“木塔”顶部的仰角为，测得“雕像”顶部的仰角为；②测得测角仪的高度为1.3米；③测得点在同一条直线上，，垂足分别是．求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离．（结果精确到米，参考数据：）2．（2024·陕西西安·一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度．（参考数据：，结果精确到）3．（2024·西藏拉萨·一模）如图，学校的教学楼对面是一幢办公楼，教学楼与办公楼的水平距离，卓玛在教学楼顶部A处测得办公楼顶部D处的俯角，测得办公楼底部C处俯角，求办公楼高CD（结果保留根号）4．（2023·海南三亚·二模）某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上，其中，米．(1)填空：度，度；(2)求无人机的飞行高度；(3)求河流的宽度．（结果保留根号）题型02坡度问题【解题策略】坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.【典例分析】例．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【变式演练】1．（2023·安徽·模拟）如图，一栋楼房后有一个小山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，楼房在小山坡上的影长为25米，测得坡脚与楼房的水平距离米，求楼房的高度．（结果精确到1米，参考数据：）2．（2023·甘肃天水·模拟预测）如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．

(1)求的值．(2)求楼的高度．3．（2023·河南濮阳·三模）如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方有一斜坡，坡长，坡比，李东在A点处测得楼顶端C的仰角为，在B点处测得楼顶端C的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：）4．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：，，，，，）题型03方位角问题【解题策略】方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.【典例分析】例．（2023·海南·中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．

(1)填空：度，度；(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；(3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．【变式演练】1．（2024·陕西西安·一模）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里．(1)求A、C两处的距离；(2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号）3．（2024·湖南长沙·三模）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．

(1)求的长；(2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）4．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在航线的两侧分别有观测点和，点到航线的距离为，点位于点北偏东方向且与相距处．现有一艘轮船从位于点南偏西方向的处，正沿该航线自西向东航行，后该轮船行至点的正北方向的处．(1)求观测点到航线的距离；(2)求该轮船航行的距离的长结果精确到．参考数据：，，，5．（2024·重庆大渡口·一模）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，)(1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km)(2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计)1．（2023·湖北恩施·中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）2．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）3．（2023·贵州·中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；(2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）4．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．

5．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

6．（2023·山东青岛·中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）

7．（2023·内蒙古·中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

8．（2023·山东济南·中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）9．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G