D3-3函数的单调性与曲线的凹凸性

第三节一、函数单调性的判定法机动目录上页下页返回结束二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章2024/5/13高等数学一、函数单调性的判定法

定理2024/5/13高等数学证应用拉氏定理,得2024/5/13高等数学例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．定理中的闭区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.2024/5/13高等数学单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:2024/5/13高等数学例2.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学例3证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,2024/5/13高等数学例4.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证证明目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学*证明令则从而即2024/5/13高等数学练习：习题3.3题3（1）（2），题4（1）2024/5/13高等数学2-0+单调减少单调增加列表如下：2024/5/13高等数学2024/5/13高等数学曲线凹凸与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方2024/5/13高等数学曲线凹凸的判定定理3.3.22024/5/13高等数学定义2024/5/13高等数学例5.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学例6.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学例7解2024/5/13高等数学例8.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学

.2.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及作业P953(3),(4);4(2);6

(3)

;

;第五节目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束2024/5/13高等数学证明:当时，有证明:令,则是凸函数即

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