北京二道河中学高三数学文下学期期末试卷含解析

北京二道河中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.设函数，若则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（

）

A．3

B．4

C．2和5 D．3和4参考答案：答案：D解析：事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；显然当n=3,4时，事件的概率最大为。

4.已知定义在（-1，1）上的函数f(x)，其导函数为=l+cosx，且f（0）=0，如果+f(l－x2）<0，则实数x的取值范围为

A．（0，1）

B．（1，）

C．

D．（1，）（－，－1）参考答案：B5.已知集合A={y︱y=3},B={x︱x2＞1},，则A∩CRB=

（

）A.[-1,1]

B.(0,1)

C.[0,1]

D.参考答案：D因为集合A={y︱y=3},B={x︱x2＞1}，所以CRB，所以A∩CRB=。6.若复数的实部与虚部相等，则实数b等于(

)

A．3

B.1

C.

D.参考答案：A，因为此复数的实部与虚部相等，所以。7.执行如下的程序框图，若输出的值为，则“？”处可填（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知函数，则函数的大致图象为参考答案：D9.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=1。若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：A略10.已知命题，则 A． B．C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式展开式中的常数项为

.

参考答案：1512.过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C.若，AC=8，BC=9，则AB=________.参考答案：413.在的展开式中，常数项为．参考答案：60略14.定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为

▲

.参考答案：略15.已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是

.参考答案：略16.命题“?x≥2，x2≥4”的否定是

．参考答案：?x0≥2，x02＜4【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x≥2，x2≥4”的否定是：?x0≥2，x02＜4．故答案为：?x0≥2，x02＜4．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．17.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：观测次数12345678观测数据4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是__________________．

参考答案：7该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，

因为这8个数据的平均数，

故其方差．故输出的的值为7．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）在中，内角、、的对边分别是、、，且。⑴求角的大小；⑵设，求的面积。

参考答案：⑴由正弦定理可得，即，故由余弦定理得，因此；

⑵因，故，得，且。故，得，故。19.（本题满分12分）如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,，（Ⅰ）将表示成的函数关系式,并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若取最大值时，且，，为中点，求的值.参考答案：【知识点】函数模型的选择与应用．B10【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为，，，所以

故………3分即，………5分（Ⅱ）=时……7分由可得.所以

………9分

由正弦定理得

所以,故在中，由余弦定理得故

………12分【思路点拨】（I）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，=sinθ．可得MN=0N﹣0M=．可得矩形PNMQ的面积y=PN?NM=，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出．（II）当=时，y取得最大值，θ=．可得A=．由cosB=，可得．由正弦定理可得：．利用两角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA．20.已知数列是等差数列，且（1）求{an}的通项公式（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）由于为等差数列，若设其公差为d，则，∴，，解得，于是=2+3（n﹣1），整理得an=．（2）由（1）得bn=anan+1==，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．21.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC上，且.（1）求证：DE⊥平面PAD.（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明见解析（2）【分析】（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则，即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.22.（12分）已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣2ax，由题设得f'（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得a=1，b=e﹣2．（2）由（1）知f（x）=ex﹣x2，∴f'（x）=ex﹣2x，f''（x）=ex﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1．（3）因为f'（x），又由（2）知，f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，则g'（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=ex﹣2，由（2）知，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（x）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，