6.2 平行四边形的判定2023-2024学年北师大版八年级数学

北师大版八年级数学下册6.2平行四边形的判定第1课时1.经历平行四边形判定方法的探究过程，掌握说理的基本方法.2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用.素养目标活动：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.

猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.20cm30cm探究新知知识点1平行四边形的判定定理1已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB.求证：四边形ABCD是平行四边形.根据平行四边形定义证明证明四边形两组对边分别平行通过角之间的关系得到平行通过三角形全等找到角之间的关系通过作辅助线可以构造出全等三角形猜想验证：思路：探究新知已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求证：四边形ABCD是平行四边形.连接BD，在△ABD和△CDB中,AB=CD,

BD=DB,AD=CB,

∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴AB∥CD

,AD∥CB∴四边形ABCD是平行四边形.证明：ABCD1423探究新知两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理1：BDCA结论探究新知例

如图1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接,图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm.两组对边分别相等的四边形是平行四边形素养考点1探究新知(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1cm).(参考数据:

≈1.732,

≈2.449)探究新知解：(1)∵AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,∴四边形ACDE是平行四边形,∴AC∥DE,∴∠DFB=∠CAB, ∵∠CAB=85°,∴∠DFB=85°.(2)作CG⊥AB于点G,∵AC=20cm，∠CGA=90°,∠CAB=60°,∴AG=

AC=10cm,

CG=cm,∵BD=40cm，CD=10cm,∴CB=30cm,∴BG=(cm),

∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5(cm),即A,B之间的距离约为34.5cm.探究新知

方法总结从两边的角度证明平行四边形的方法(1)两组对边分别_________的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别_____的四边形是平行四边形.

平行相等探究新知如图所示，平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，则四边形EFGH是

.平行四边形巩固练习变式训练小明的爸爸又考验小明：“小明啊，如果只用两根相等的细木棒，你能不能摆成细木棒的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？”（2）如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它成为平行四边形？（1）你认为小明能做到吗？探究新知平行四边形的判定定理2知识点2思考:ABCD猜想：一组对边

的四边形是平行四边形.平行且相等探究新知将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.ABCD猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.思考:探究新知证明方法1：根据平行四边形定义证明你能想到几种证明方法？证明方法2：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边证明连接四边形对角线构造全等三角形如图，在四边形ABCD中，AB

CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.猜想验证：探究新知证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA.又∵

AB=CD

,AC=CA,∴△BAC≌△DCA.∴

∠ACB=∠CAD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴

BC∥DA.如图，在四边形ABCD中，AB

CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.方法1：探究新知证明：连接AC.∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA.又∵

AB=CD

AC=CA,∴△BAC≌△DCA.∴

BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.如图，在四边形ABCD中，AB

CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.方法2：探究新知一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理2BDCA结论探究新知例1如图，在平行四边形ABCD中，已知AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．证明：∵在平行四边形ABCD中，

AE,CF分别是∠DAB,

∠BCD的角平分线,∴∠B=∠D,AB=CD,

AD∥BC,∠BAE=∠DCF=∠DAB=∠BCD.

∴△ABE≌△CDF(ASA).∴BE=DF.∴AF=CE.∵AF∥CE,∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形素养考点2探究新知如图，AC//DE,点B在AC上，且AB=DE=BC.找出图中的平行四边形，并说明理由.解：∵AC//DE且AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形.∵AC//DE且DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形.巩固练习变式训练如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：∵

四边形ABCD是平行四边形,∴

AD=CB，

AD//BC.又∵E,F分别是AD和CB的中点,∴

ED=FB，ED∥FB.∴

四边形BFDE是平行四边形.∴

ED=AD,BF=BC.例2探究新知

方法总结从边的角度判定平行四边形的“两点注意”(1)已知两组对边:可以通过判定这两组对边分别平行,也可以通过判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四边形.(2)已知一组对边:需要证明这一组对边平行且相等.探究新知四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则下列结论中错误的是(

)A.∠A=∠C

B.AD∥BC

C.∠A=∠B

D.对角线互相平分C巩固练习变式训练我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ABCD你能根据平行四边形的定义证明它们吗？探究新知知识点3由定义拓展判定平行四边形思考:已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD又∵∠A=∠C，∠B=∠D,∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°,∴2∠A+2∠B=360°,即∠A+∠B=180°.∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.同理得AB∥

CD,证明：定义拓展判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.验证：探究新知已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.12证明1：在△ABC和△CDA中，∵∠B=∠D，∠1=∠2，CA=AC,∴△ABC≌△CDA.∴AB=DC，BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.巩固练习证明2：在△ABC和△CDA中，∵∠B=∠D，∠1=∠2，CA=AC,∴△ABC≌△CDA.∴AB=CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.巩固练习12证明3：在△ABC和△CDA中，∵∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠BCA=∠DAC.∴AB∥CD，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.连接中考（2020·鸡西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件

，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）.AB∥CD（答案不唯一）1.在四边形ABCD中,若AD=8,AB=4,那么当BC=______,CD=______时,四边形ABCD是平行四边形.

8

4

课堂检测基础巩固题2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BC,BC=6cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,则______秒后四边形ABQP为平行四边形.

2

课堂检测基础巩固题3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列添加的条件不正确的是(

)BA.AB=CD

B.BC=ADC.∠A=∠C

D.BC∥AD课堂检测基础巩固题4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形,则应增加的条件是(

)BA.AB=CD

B.∠BAD=∠DCBC.AC=BD

D.∠ABC+∠BAD=180°课堂检测基础巩固题5.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,且EF∥BC,DE∥BF,则图中共有______个平行四边形.(平行四边形ABCD除外).

3

课堂检测基础巩固题1.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.求证:四边形ADEF是平行四边形.证明:∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.∵BE=AF,∴AF=DE.∵AF∥DE,∴四边形ADEF是平行四边形.课堂检测能力提升题2.如图,已知△ABC,分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形:△ABE,△BCD,△ACF,求证:四边形DEAF是平行四边形.证明:∵△ABE,△BDC都是等边三角形,∴BE=AB,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°,∴∠DBE=60°-∠DBA,∠ABC=60°-∠DBA,∴∠DBE=∠ABC.在△DBE和△ABC中,∴△DBE≌△CBA(SAS),∴DE=AC.课堂检测能力提升题又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF,∴DE=AF.同理可得:△ABC≌△FDC,∴DF=AB=AE.∵DE=AF,EA=DF,∴四边形DEAF为平行四边形.如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:四边形DEBF是平行四边形.拓广探索题课堂检测证明:方法一:(利用两组对边分别相等)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,AD=CB,∴∠DAE=∠BCF.在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF,∴DE=BF,同理可得,△ABE≌△CDF,∴BE=DF,∴四边形DEBF是平行四边形.课堂检测方法二:(利用一组对边平行且相等)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,AD=CB,∴∠DAE=∠BCF.在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF.∴DE=BF,∠ADE=∠CBF.∵∠DEF=∠DAE+∠ADE,∠BFE=∠BCF+∠CBF,∴∠DEF=∠BFE.∴DE∥BF.又∵DE=BF,∴四边形DEBF是平行四边形.课堂检测判定定理1定理2定义拓展法文字语言图形语言符号语言两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形复习回顾：平行四边形判定定理ABCD∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是

ABCD

ABCD∵AB=CD,

AB∥CD,∴四边形ABCD是

ABCD

ABCD∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是

ABCD

导入新知1.利用对角线互相平分判定平行四边形.2.掌握平行四边形判定的方法.素养目标

将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD

．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ACBOD猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.探究新知知识点平行四边形的判定定理3活动：ABCDO

已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC(已知),OB=OD(已知),∠AOB=∠COD

(对顶角相等),∴△AOB≌△COD(SAS).∴∠BAO=∠OCD

,∠ABO=∠CDO.∴AB∥CD,AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.猜想证明：探究新知对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理3ABCDO

结论探究新知填空：如图在四边形ABCD中(1)若AB//CD，补充条件

，使四边形ABCD为平行四边形；(2)若AB=CD，补充条件

，使四边形ABCD为平行四边形；(3)若对角线AC,BD

交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充条件

，使四边形ABCD为平行四边形.AD//BCAD=BCOD=5BODAC探究新知想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法?从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）从角考虑从对角线考虑平行四边形的判定方法两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）探究新知已知：E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：连接BD，交AC于点O.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF.∴EO=FO.

又∵BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形）OBACEFD对角线互相平分的四边形是平行四边形素养考点1探究新知例∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,BO=DO.判定平行四边形的方法选择已知条件证明思路一组对边相等1.另一组对边也相等2.相等的边也平行一组对边平行1.另一组对边也平行2.平行的边也相等对角线相交对角线互相平分探究新知如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH,交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC,设AC和BD交于点O,求证:四边形ABCD是平行四边形.巩固练习变式训练证明：∵GE∥BH,HF∥BG,∴四边形BHDG是平行四边形.∴OB=

OD,OG=

OH.

∵G,H是△ABC的边AC的三等分点,∴AG=GH=CH.∴OG+

AG

=OH+CH,

∴OA=OC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

巩固练习根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（）A.两组对边分别相等B

.两条对角线互相平分C

.两条对角线相等D

.两组对边分别平行CDABC巩固练习变式训练连接中考（2020·衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是

(

)A.AB∥DC，AD∥BC

B.AB＝DC，AD＝BCC.AB∥DC，AD＝BC

D.OA＝OC，OB＝ODC1.若AC=10,BD=8,AC与BD相交于点O,那么当AO=______,DO=______时,四边形ABCD是平行四边形.

5

4

课堂检测基础巩固题2.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.求证:四边形ADCE是平行四边形.证明:∵CE∥AB,∴∠ADE=∠CED,在△AOD与△COE中,∴△AOD≌△COE,∴OD=OE,又∵

OA=OC，

∴四边形ADCE是平行四边形.课堂检测基础巩固题3.如图,在△ABC中,D是AB边上任意一点,E是BC边中点,CF∥AB,交DE的延长线于点F,连接BF,CD.求证:四边形CDBF是平行四边形.证明:∵CF∥AB,∴∠ECF=∠EBD,∵E是BC的中点,∴CE=BE,∵∠CEF=∠BED,∴△CEF≌△BED(ASA),∴EF=ED，∴四边形CDBF是平行四边形.课堂检测基础巩固题已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F,直线GH过点O,分别交AB,CD于点G,H.求证:四边形EGFH是平行四边形.课堂检测能力提升题证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴EO=FO,同理可得:△BGO≌△DHO,∴GO=HO,∴四边形EGFH是平行四边形.课堂检测已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.求证:四边形ABFC是平行四边形.拓广探索题课堂检测证明:方法一:(根据对角线互相平分)∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE,∵E是BC的中点,∴BE=CE,在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AE=EF,又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形.课堂检测方法二:(根据一组对边平行且相等)∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE,∵E是BC的中点,∴BE=CE,在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=FC,又∵AB∥CD,∴四边形ABFC是平行四边形.课堂检测1.掌握平行线间的距离的概念及性质.2.探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.素养目标

3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明．

如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．猜想：平行线间距离处处相等.活动：探究新知知识点1平行线之间的距离如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠1=∠2=90°.∴AC∥BD.∵AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形.∴AC=BD.abABCD12猜想证明：探究新知

如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.结论探究新知AB思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？abAB

点到直线的距离只有一条，即过直线外一点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线上任一点都可以得到一条两平行直线的距离.结论探究新知AB思考：若垂线段改为夹在两条平行线间的平行线段呢？它们是否相等呢？由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.结论探究新知例

如图,甲船从北岸码头A向南行驶,航速为36千米/时;乙船从南岸码头B向北行驶,航速为27千米/时.两船均于7:15出发,两岸平行,水面宽为18.9千米,求两船距离最近时的时刻.平行线之间的距离素养考点1探究新知解：设x分钟后两船距离最近,当如图EF⊥BD,AE=

DF时,两船距离最近,根据题意得出:36x=18.9-27x,解得x=0.3,

0.3小时=0.3×60分钟=18(分钟),

则两船距离最近时的时刻为7:33.探究新知

方法总结平行线之间的距离概念辨析注意:平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离,是垂线段的长度,而不是垂线段.作法:从其中一条直线上任意找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度即平行线之间的距离.探究新知如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为

.ABCDE分析：根据平行线之间的距离处处相等.解析：设高为h,则S△ABD=·BD·h=16,所以h=4,所以S

△ACE=

·AE·h=×5×4=10.10巩固练习变式训练证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴ADEF，EFBC.∴ADBC.∴四边形ABCD是平行四边形.//=//=//=思考：四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD

是平行四边形.提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形探究新知平行四边形性质与判定的综合运用知识点2ABCDEF已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形．证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDF=∠NBE．∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE(SAS).∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．∴四边形MENF是平行四边形.∴∠MFE=∠NEF∴FM∥EN．平行四边形性质与判定的综合运用素养考点2探究新知例如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M,N分别为边AD,BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴BE=DF；巩固练习变式训练（2）四边形MENF是平行四边形． 由（1）可知：BE=DF， ∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC， ∴∠MDB=MBD， ∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE， ∴NE=MF，∠MFD=∠NEB， ∴∠MFE=∠NEF， ∴MF∥NE， ∴四边形MENF是平行四边形．巩固练习连接中考（2020·岳阳）如图，点F在ABCD的边BC，AD上，BE=BC，FD=AD，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，

AD∥BC，∵

BE=BC，FD=AD，∴

BE=FD，∵

BE∥FD，∴四边形BEDF是平行四边