山东省青岛市智荣中学高三数学理下学期摸底试题含解析

山东省青岛市智荣中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是A.α、β都垂直于平面γ

B.α内不共线的三个点到β的距离相等C.l,m是α内两条直线且l∥β,m∥β

D.l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β参考答案：D2.若a＞1，则a+1/（a-1）的最小值是A.0；

B.2；

C.2/（a-1）

D.3；参考答案：D略3.已知＜＜0，则（

）(A)n＜m＜1

(B)m＜n＜1

(C)1＜m＜n

(D)1＜n＜m参考答案：D4.若，，是虚数单位，且，则的值为

（

）A． B．

C． D．参考答案：D根据复数相等，可知，即，所以，选D.5.执行如图所示的程序框图，如果随机输入的t∈[﹣2，2]，则事件“输出的S∈（﹣1，7]”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到输出S∈[﹣3，﹣1]∪（2，10]，区间长为10，即可求出概率．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+2∈（2，10]，此时不满足条件，∴输出S∈[﹣3，﹣1]∪（2，10]，区间长为10，∴事件“输出的S∈（﹣1，7]”发生的概率为=．故选B．6.函数的定义域为（

）A.(,∞)

B(,1)

C（1，+∞）D.(,1)∪（1，+∞）参考答案：B7.等差数列中，，则（

）A．10

B．20

C．40

D．2+log25参考答案：B8.高三某班6名同学站成一排照相，同学甲．乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有（

）A．120

B．240

C．360

D．480参考答案：B9.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．【解答】解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．10.，则实数a取值范围为

（

）A

B

[-1,1]

C

D

(-1,1]参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_________.参考答案：12.已知向量，，，，如果∥，则

.参考答案：略13.

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

.参考答案：4略14.在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为

．参考答案：，即，则三点共线，，所以与同向，∴，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立．则线段在轴上的投影长度的最大值为．15.设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为

．参考答案：150【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据M﹣N=240，解得2n的值，可得n=4．再求出（5x﹣）n的展开式的通项公式，令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0．解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4．（5x﹣）n的展开式的通项公式为Tr+1=?（5x）4﹣r?（﹣1）r?=（﹣1）r??54﹣r?．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣1）r??54﹣r=1×6×25=150，故答案为150?【点评】本题主要考查二项式的各项系数和与二项式系数和的关系，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．16.（2016郑州一测）已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量，若，则的最大值为________．参考答案：设，．∵，∴，∴，∴，∴．17.等差数列中，恰好成等比数列，则的值是____________;参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列的前项和为，，，.(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.参考答案：(1)设出等差数列的首项及公差，解方程组可得的通项公式(2)从的取值发现数列需分奇偶讨论，再结合分组求和可得的前项和.(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意，得解得所以an＝2n－1.(2)因为当为奇数时，当为偶数时，当为偶数时，当为奇数时，综上：知识点：等差数列，数列求和，分类讨论思想难度：419.已知椭圆的左、右两个焦点，过其中两个端点的直线斜率为，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.参考答案：(1)；(2)，.试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立目标函数求解.试题解析：（2）设直线的方程为，，由消去并整理，得，因为直线与椭圆交于两点，所以，，点到直线的距离.考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件建立方程组求出椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,为了避免分类讨论将直线的方程设为,然后再将直线的方程和椭圆的方程联立,借助坐标之间的关系求得弦长及三角形的面积的函数表达式.然后再基本不等式求出其最大值为,从而使得问题获解.本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高,有一定难度.20.

已知函数处取得极值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，

请说明理由.参考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1处取得极值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

经检验，符合题意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)

……7分

∴当x=－时，f(x)有极大值+c.

又

∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.

……8分

∴c2>2+c.

∴c<－1或c>2.

…………10分

（Ⅲ）对任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.

又

…12分

∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.

，故结论成立.……14分

略21.（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（Ⅰ）请写出一个，使得；（Ⅱ）是否存在，使得？说明理由；（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．

参考答案：（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．

………………3分（Ⅱ）解：不存在，使得．

………………4分

证明如下：假设存在，使得．

因为，

，

所以，，，，，，，这个数中有个，个．

令．

一方面，由于这个数中有个，个，从而．

①

另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示，

从而．

②①、②相矛盾，从而不存在，使得．

………………8分（Ⅲ）解：记这个实数之积为．

一方面，从“行”的角度看，有；

另一方面，从“列”的角度看，有．从而有．

③

………………10分注意到，

．下面考虑，，，，，，，中的个数：由③知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以．

………………12分对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．依此类推，将数表中的由变为，得到数表．即数表满足：，其余．所以，．所以．由的任意性知，的取值集合为．……………13分22.如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求证：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.

参考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD