陕西省西安市第五十中学高三数学理上学期摸底试题含解析

陕西省西安市第五十中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，为奇函数的是A． B． C． D．参考答案：D2.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，，则xf(x)≥0的解集为A．[-1，0)∪[1，+∞)

B．(-∞，-1]∪[1，+∞)C．[-1，0]∪[1，+∞)

D．(-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞)参考答案：D3.已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，则M∩N=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）参考答案：C【分析】由题意M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，解出M和N，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，∴M={x|﹣2＜x＜1}，∵N={x|x+1＜0}，∴N={x|x＜﹣1}，∴M∩N={x|﹣2＜x＜﹣1}故选C．4.若双曲线与椭圆（m>b>0）的离心率之积大于1，则以为边长的三角形一定是（

）A等腰三角形

B

直角三角形

C

锐角三角形

D钝角三角形参考答案：D略5.如图所示的韦恩图中，若，，则阴影部分表示的集合为（

）A．

B．C．或

D．或参考答案：C略6.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A若，则，即，所以数列成等差数列。若数列成等差数列，设公差为，则，即，若，则，若，则

，即，此时。所以是数列成等差数列的充分不必要条件，选A.7.某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即（），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（

）（A）400

(B)

500

(C)600

(D)800参考答案：A故选A.8.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是（

）

参考答案：C9.某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为(

)A. B. C. D.参考答案：C10.已知，，且，则=（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4）或（﹣2，4） D．（4，﹣8）参考答案：C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求出．【解答】解：设=（x，y），由题意可得，解得或，∴=（2，﹣4）或（﹣2，4）．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，则使得|x|+|y|≤4的概率为．参考答案：考点： 几何概型．专题： 计算题；概率与统计．分析： 从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，对应的区域是长方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，分别求出面积，即可得出结论．解答： 解：从区间[﹣5，5]内随机取出一个数x，从区间[﹣3，3]内随机取出一个数y，对应的区域面积为60，使得|x|+|y|≤4，落在矩形内的部分，如图所示，面积为2××（2+8）×3=30，∴所求概率为=．故答案为：．点评： 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，确定区域的面积是解决本题的关键．12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的取值范围是

.参考答案：13.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和，若a2a3=a4a5，S9=1，则a1的值是．参考答案：【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a1的值．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a2a3=a4a5，S9=1，∴，解得：a1=，故答案为：．14.函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．参考答案：[4，5]【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．15.下列说法正确的为

.

①集合A=，B={}，若BA，则-3a3；

②函数与直线x=l的交点个数为0或l；

③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；

④，+∞）时，函数的值域为R；

⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2-x）.参考答案：②③⑤16.如图，曲线在点处的切线方程是，则+=

．参考答案：

217.下列命题中不正确的是

（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线，②分别和两条异面直线都相交的两直线异面，③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行，④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)在四边形ABCD中，，，，，在方向上的投影为8；（1）求的正弦值；（2）求的面积.参考答案：解：（1），，

————1分在中，，，，，，——3分在方向上的投影为8，，，—5分，

—7分（2），———8分

，————9分

———10分———12分

略19.(本小题满分12分)如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.（1）求证：；

（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）

,点E为的中点,连接的中位线//

……2分又

………4分（II）正方形中,

,

由已知可得：，

,

…………8分故当时，二面角的大小为

……………12分(注：其它方法同样得分)20.（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将a=1代入函数f（x），求出其导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（3）问题转化为方程有没有解，通过研究左右两个函数的值域，从而得到结论．【解答】解：（1）a=1时，，定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得x=1，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；

（2），x∈，当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，当a＞0时，令f′（x）=0，则x=a，①若a＞e，则f′（x）＜0对x∈成立，则f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，②若1≤a≤e，则有x（1，a）a（a，e）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间上的最小值为f（a）=lna，③若a＜1，则f'（x）＞0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，综上得：；（3）即考虑方程g′（x）=0有没有解，求导得，令g′（x）=0，则，即下面分别研究左右两个函数的值域，∵由（1）得a=1时f（x）的最小值为f（1）=0，∴，即，令，则，∴h（x）在（﹣∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max=h（2）=1，又∵等号不能同时取到，∴方程无解，即函数g（x）不存在垂直于y轴的切线．【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，本题计算量较大，有一定的难度．21.在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A满足2cos2A+cos（2A+）=﹣．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若c=3，△ABC的面积为3，求a的值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换化简2cos2A+cos（2A+）=﹣，结合A的取值范围，即可求出A的值；（Ⅱ）根据△ABC的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，2cos2A+cos（2A+）=﹣，∴2?+cos（2A+）=﹣，即1+cos2A+cos2Acos﹣sin2Asin=﹣，∴sin2A﹣cos2A=，∴sin2A﹣cos2A=，即sin（2A﹣）=；又△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，解得A=；（Ⅱ）c=3，且△ABC的面积为S△ABC=bcsinA==3，解得b=4；由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=42+32﹣2×4×3×=13，解得a=．22.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：的圆心C。（1）求椭圆的方程；（2）设直线过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线的方程。参考答案：解：（1