13.2.4-三角形的外角性质

第13章

三角形中的边角关系、命题与证明第2节命题与证明第4课时三角形的外角性质课堂讲解课时流程12三角形外角的定义三角形外角的性质三角形的外角和逐点导讲练课堂小结课后作业1知识点三角形外角的定义知1－讲（来自《点拨》）1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．如图中的∠ACD的一边是△ABC的边AC，另一边是△ABC的边BC的延长线．2．易错警示：虽然三角形的外角在三角形外部，但不应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角．知1－讲例1

如图，△CEF的外角为_______________．∠AFC，∠BEF导引：图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE的延长线EB，延长线FA与边CF构成的角为∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF是△CEF的外角．（来自《点拨》）知1－讲总

结（来自《点拨》）判定一个角是三角形的外角的三个条件：一是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角形的一条边；三是一边是三角形的另一条边的延长线．知1－练（来自《典中点》）如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(

)A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角D2知识点三角形外角的性质知2－讲交流在图中，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.知2－讲三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质)：1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．作用：(1)此性质反映了三角形的外角与不相邻内角之间的数量关系，利用它可以求相关的角；(2)利用它可以证明一个角等于另两个角的和或差；(3)利用它作为中间关系证明两个角相等．知2－讲2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；作用：用来证明角的不等关系．（来自《点拨》）知2－讲例2〈浙江温州〉如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝_____度．导引：根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.80知2－讲总

结本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠3＝∠2＋∠C.（来自《点拨》）知2－讲例3〈山东威海〉将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D.已知∠A＝∠EDF＝90°，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝_____.25°导引：要求∠CDF，则需求其余角∠2的度数．∠2＝180°－∠1－∠ACB，其中∠1可利用三角形外角的性质求出，∠ACB为三角板内角已知．如图，由三角形外角的性质，知∠1＝∠E＋∠BCE＝30°＋40°＝70°，由三角形内角和定理知∠2＝180°－∠1－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，∴∠CDF＝∠EDF－∠2＝90°－65°＝25°.（来自《点拨》）知2－讲总

结（来自《点拨》）知2－讲本题是以三角板为背景考查三角形外角的性质，是考试的一个热点；它主要是利用了三角板位置变换过程中其内角的度数不变的原理；解题时注意数形结合思想的应用，能从实物中抽象出所需的角是解题的关键．知2－讲导引：要判断∠1与∠2的大小关系，而这两个角间没有直接关系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，观察题图知∠3能担当这种角色；用三角形外角的性质，先判断∠3与∠2的大小关系，再判断∠1与∠3的大小关系，然后用不等式的传递性判断∠1与∠2的大小关系．例4如图，请确定∠1与∠2的大小关系，并说明为什么．知2－讲（来自《点拨》）解：∠1>∠2.理由如下：∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1>∠3.∵∠3是△FGC的一个外角，∴∠3>∠2.∴∠1>∠2.知2－讲总

结“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”是证明有关角的不等关系的一条重要定理，它常常结合不等式的性质(如本例中不等式的传递性)来解决有关角的不等关系；用它可判断与三角形有关的角的大小问题．本题通过∠3把属于两个三角形的∠1和∠2联系在一起是关键．（来自《点拨》）知2－讲例5

〈青海，改编〉下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图①，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋∠A.(不要求证明)

图①知2－讲探究2：如图②，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO

和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．图②知2－讲探究3：如图③，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？图③知2－讲导引：探究2：如图，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠BOC与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；探究3：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．知2－讲解：探究2结论：∠BOC＝∠A.理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD.又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC.∴∠2＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠1.∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠2－∠1＝∠A＋∠1－∠1＝∠A.知2－讲探究3：∵∠OBC＝(∠A＋∠ACB)，∠OCB＝(∠A＋∠ABC)，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(∠A＋∠ACB)－(∠A＋∠ABC)＝180°－∠A－(∠A＋∠ABC＋∠ACB)＝180°－∠A－×180°＝90°－∠A.结论：∠BOC＝90°－∠A.（来自《点拨》）总

结（来自《点拨》）知2－讲本题中掌握三角形外角的性质是解题的关键，题中的三个结论都与∠A有关，可简记为“内夹角：90°＋∠A，内外夹角：∠A，外夹角：90°－∠A”．记住这些结论，可为解填空题、选择题带来很多方便．（来自《典中点》）知2－练

(中考·桂林)如图，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是(

)A．110°B．120°C．130°D．140°B（来自《典中点》）知2－练2(中考·柳州)图中∠1的大小等于(

)A．40°B．50°C．60°D．70°D（来自《典中点》）3如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1知2－练B3知识点三角形的外角和知3－讲例6已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°.证明：∵∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）.（等式性质）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）∴∠1+∠2+∠3=360°.（来自教材）知3－讲归纳（来自《点拨》）三角形的三个外角的和等于360°.

知3－讲导引：∠A，∠B，∠C，∠D，∠E五个角不在同一个三角形中，需要利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”转化到一个三角形中．例7

如图，在五角星ABCDE中，试说明∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.知3－讲解：因为∠AGF是△GCE的外角，所以∠AGF＝∠C＋∠E.同理∠AFG＝∠B＋∠D.在△AFG中，∠A＋∠AFG＋∠AGF＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.（来自《点拨》）知3－讲总结(1)本例的说明过程，充分体现了化分散为集中的转化思想，即把分散在不同三角形中的五个角运用三角形外角的性质将其集中到同一个三角形中去，再利用三角形内角和定理说明结论成立．知3－讲总结(2)解答本例的关键是找基础三角形；这里的基础三角形较多，解法也多样，请读者从不同角度去找基础三角形，说明结论的正确性．（来自《点拨》）知3－讲下列对三角形的外角和叙述正确的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不对（来自《典中点》）知3－练C2