-新人教原创分类计数原理与分步计数原理

欢迎诸位莅临指导某校将举行高中男生乒乓球比赛，比赛分成三个阶段进行。第1阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛，分组时，先将8名种子选手分别安排在8个小组，然后用抽签方法确定其余各选手分在哪个小组。第2阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第一名进行2场半决赛和2场决赛，确定1—4名的名次。问：整个赛程一共要进行多少场比赛？分类计数原理与分步计数原理工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，那么一天中，乘坐这些交通汽车有2班。∵一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，∴共有3+2=5种不同的走法。分类计数原理：完成一件事，有n类方法，在第1类方法中有m1种不同的方法,在第2类方法中有m2种不同的方法……在第n类方法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？所有走法：如何计算所有不同走法的种数？∵乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，∴乘一次火车再换乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法。从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。从一天中，火车有3班，从甲地到丁地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，再从丙地换乘轮船到丁地，一天中，火车有3班，汽车有2班，轮船有3班，那么两天中，从甲地到丁地共有多少种不同的走法？所有走法：如何计算所有不同走法的种数？∵乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，∴乘一次火车再换乘一次汽车从甲地到乙地共有3×2=6种不同的走法。分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.上述问题中的3×2=6,3×2×3=18都是用分步计数原理求出的.分步计数原理和分类计数原理的共同点：计算做一件事情完成它的所有不同方法种数的问题。分类计数原理又称作加法原理；分步计数原理又称作乘法原理。分类计数原理分步计数原理完成一件事，共有n类方法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类方法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类方法是互斥的，并列的，独立的。各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，”独立“确保不重复。即：类类互斥，步步独立。例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，〔1〕从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？〔2〕从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：〔1〕从书架上任取一本书，有三类方法：第1类方法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是：从第3层取1本体育书，有2种方法；根据分类计数原理，不同取法的种数是：答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，〔2〕从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：〔2〕从书架的1、2、3层各取1本书，可以分3步来完成：第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法；根据分步计数原理，从书架的1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是：答：从书架的1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看作是先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同选法数是：N=3×2=6答：3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有6种不同的选法。归纳小结:1.分类计数原理和分步计数原理.分类时用加法,分步时用乘法.2.分类时要求各类方法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.练习:P861,2练习