奥本海姆信号与系统3周期信号傅立叶级数表示重点讲解

时域分析方法的基础：(1)信号在时域的分解(2)LTI系统满足线性、时不变性(2)具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。(1)本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。

从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：对频域分析同样实用5/17/20241傅立叶分析不仅可以用于信号的频谱表示，而且是频域描述系统类型和特性所必需的工具。周期信号非周期信号傅立叶级数离散时间傅立叶级数DTFS连续时间傅立叶级数FS傅立叶变换离散时间傅立叶变换DTFT连续时间傅立叶变换FT5/17/20242频谱分析的特点和优点１、分析信号的频域特点：如信号的带宽，信号的谱含量等等。２、信号频谱函数和系统的频域传输函数也包含了信号和系统的全部信息。３、系统频域分析方法：线性时不变系统对给定频率的正弦信号的零状态响应是同样频率的正弦信号，系统的作用只体现在振幅和相位上。5/17/20243第3章周期信号的傅里叶级数表示3.2LTI系统对复指数信号的响应3.3连续时间周期信号的傅立叶级数表示3.4傅立叶级数的收敛3.5连续时间傅立叶级数性质3.6离散时间周期信号的傅立叶级数表示3.7离散时间傅立叶级数性质3.8傅立叶级数与LTI系统5/17/20244函数的正交0)()(2121=òttdttftf:),(21tt内正交的条件在正交：)()(21tftf的分量内不包含)(212ò=ttiiKdttg)(0)()(21ò¹=ttjijidttgtg,),(,)(),(),(2121即内满足正交特性如在区间构成一函数集个函数ntttgtgtgnK正交函数集5/17/20245ò+ïîïíì==¹=¹=1001)0()0()(0coscos211TttTnmT1nmnmtdtmtnwwò+¹¹=îíì=100)()0(0sinsin211Tttnmnmtdtmtnwwò+=11000sincos11TTtttdtmtnww,......}sin,cos,...,2sin,2cos,sin,cos,1{111111tntnttttwwwwww=,211Twp在区间内满足其中+),(100Ttt函数集。内是完备正交三角函数集在区间5/17/20246)()(0)(100111*nmnmTdteeTtttjntjm¹=îíì=×ò+ww,2),(,...)2,1,0}({111100TTttnetjn=+±±=wwp在区间内满足其中内是完备正交函数集在区间复指数函数集任意函数f(t)在区间(t0,t0+T)内可用此函数集表示：5/17/20247特征函数与特征值如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。3.2LTI系统对复指数信号的响应5/17/20248由时域分析方法有，考查LTI系统对复指数信号和的响应特征函数特征值5/17/20249例3.15/17/2024103.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一、连续时间傅里叶级数有成谐波关系的复指数信号集：这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即:连续时间周期信号可以分解成无数个复指数谐波分量。傅立叶级数FS5/17/202411正弦信号的频率序数傅立叶级数FS：傅立叶级数的系数正弦信号的频率函数5/17/202412例1：例2：5/17/202413二、傅里叶级数的其它形式

或是实信号即：表明的模关于偶对称，幅角关于奇对称。令5/17/202414——傅里叶级数的三角函数表示式5/17/202415三、频谱（Spectral）的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。信号集中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。5/17/202416分量

可表示为表示为频谱图信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。5/17/202417四、连续时间傅里叶级数系数的确定信号在一个周期的平均值，直流分量。5/17/202418一个周期连续时间信号的傅立叶级数：综合公式分析公式频域表示FS表示法主要用在电气工程中，用来分析系统对周期信号的影响。5/17/202419当时，有当时，有表明：奇信号的是关于的奇函数、虚函数。表明：偶信号的是关于的偶函数、实函数。信号对称性与频谱的关系：5/17/202420例3.3求信号的傅立叶级数表示：（1）直接应用分析公式：（2）观察法：5/17/202421例3.4求信号的傅立叶级数表示：5/17/202422离散性、谐波性：谱线沿频率轴离散分布，谱线仅在0、ω0、2ω0、…基波的倍频（离散的）频率点上出现。(2)唯一性：周期信号的谱线唯一(3)收敛性：随着n→∞，频谱幅度趋于零周期连续时间信号的频谱特征：5/17/202423傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在?

级数是否收敛于?两组条件：

1、平方可积条件：在一个周期内能量有限，一定存在。5/17/2024242、Dirichlet条件：（2）在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。（3）在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。（1）5/17/2024253.5连续时间傅里叶级数的性质1、线性：若和都是以为周期的信号，且则2、时移:若是以为周期的信号，且则5/17/2024263、反转:若是以为周期的信号，且则5/17/202427若是以为周期的信号，且则以为周期，于是4、尺度变换:令，当在变化时，从变化，于是有：5/17/2024285、相乘:若和都是以为周期的信号，且则5/17/2024296、共轭对称性:若是以为周期的信号，且则对实信号有：或时有：当对实信号，当时，（实偶函数）当时，（虚奇函数）时有：当5/17/2024307、帕斯瓦尔（Parseval

）定理：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.5/17/202431例1：-T1T0……5/17/202432一、离散时间傅里叶级数（DFS）该信号集中每一个信号都以为周期，且该集合中只有个信号是彼此独立的。

3.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示

考察成谐波关系的复指数信号集:5/17/202433DTFS是惟一一种能在计算机上进行数值求解和运算的傅立叶表示。离散时间周期信号的傅立叶级数：综合公式分析公式5/17/202434例3.105/17/2024351、相乘2、差分DFS的性质周期卷积5/17/2024363、时域内插若以N为周期，则以mN为周期。令令，则有时5/17/2024374、Paseval定理

左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。也表明：周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。5/17/2024383.8傅里叶级数与LTI系统

LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。对连续时间系统对离散时间系统系统函数5/17/202439如果则——连续时间LTI系统的频率响应如果则——离散时间LTI系统的频率响应对而言，是以为周期的。5/17/202440LTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。5/17/202441例3.165/17/202442例3.17：某离散时间LTI系统，输入为，求输出。即：由5/17/202443复指数函数是