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文档简介
1.紧致空间与紧致子集2.紧致性的判别3.紧致性是拓扑性质主要内容1紧致空间与紧致子集PARTONE量子力学紧致空间：
设
是一个拓扑空间，如果
的任何开覆盖都有有限子覆盖，那么就称
是一个紧致空间.
紧致子集：设
是拓扑空间
的一个非空子集，若
作为
的子空间是紧致的，则称
是
的紧致子集.
例1：
是
的紧致子集.
2紧致性的判别PARTTWO命题2.14
:紧致子集的判别条件：
是
的紧致子集
在
中的任一开覆盖都有有限子覆盖.证明：
设
是
在中的开覆盖，则是在子拓扑空间的开覆盖，由于是的紧致子集，那么存在的有限子集，是在子拓扑空间中的一个有限子覆盖，并且是在中的开覆盖中的一个有限子覆盖.
设
是
在子拓扑
中的任何一个开覆盖，由子拓扑的定义，对
的开集
，使得
,则所得到的
构成
在
中的开覆盖
，由条件知，存在
的有限子集
是
在
中的有限开覆盖.于是
是
在
中的有限开覆盖,所以
是
的紧致子集.命题2.15紧致空间的闭子集是紧致的证明：设
是紧致拓扑空间，
是
的闭子集。证
的紧致性只需证明在中的任一开覆盖存在有限子覆盖.因为是闭集，所以是开集.于是在中添加后得到的一个开覆盖.由于紧致，它有子覆盖是的有限子覆盖.所以是紧致的.例2.
紧致，
是
的闭集,所以
也紧致。
而开集不行，如
是它的开子集，不是紧致的.
举例说明
注：欧氏空间中的紧致子集是有界闭集.3紧致性是拓扑性质PARTTHREE命题2.16：紧致空间在连续映射下的像也是紧致的.证明：设
和
是两个拓扑空间，映射
连续，只需证明
紧致。设
是
在
中的开覆盖，则
是
的
开覆盖，有子覆盖
即
于是
因此
是
的子覆盖，再由
紧致（任一开覆盖有有限子覆
盖），所以
紧致
紧致性是拓扑性质注：紧致性是拓扑性质,可以用来区分不同的拓扑空间.应用举例：因为
不是紧致的，
是紧致的。又因为紧致性是拓扑性质，所以
与
不同胚.因为
不是紧致的，
(单位圆周)是紧致的，又因为紧致性是拓扑性质，所以
与
不同胚.
推论：定义在紧致空间上的连续函数有界，并且达到最大、最小值.证明：设
是紧致的，
是
上定义的连续函数.因为
紧致，
是连续的，所以
是
的一个紧致子集.因此,
是
的一个
有界闭集，所以
有界.设
分别是
的最大值与最小值
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