线性代数与概率论（第五版） 课件 6.3 指数分布

第三节指数分布本节主要学习目标：[知识目标]

掌握指数分布的概念及数字特征。[能力目标]

能计算指数分布的概率。

能根据实际问题分析判断是否为指数分布。指数分布2

定义3.3若连续型随机变量X的概率密度为

则称连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布指数分布3指数分布的概率密度曲线如图在实际问题中,服从指数分布的连续型随机变量很多,如某些电子元件的寿命,随机服务系统中的服务时间,等等.指数分布4如果连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,在b>a≥0的条件下,分别讨论事件a<X<b,X>a及X<b发生的概率由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等于它的概率密度在该区间上的积分,并注意到连续型随机变量X的概率密度为

指数分布5事件a<X<b发生的概率P{a<X<b}

指数分布6事件X>a发生的概率P(X>a)

指数分布7再根据§1.2加法公式的特殊情况,事件X<b发生的概率P{X<b}=1-P{X≥b}=1-e-λb指数分布8综合上面的讨论,得到计算指数分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,在b>a≥0的条件下,则概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

=e-λa-e-λbP{X>a}=P{X≥a}=e-λaP{X<b}=P{X≤b}=1-e-λb指数分布的数学期望与方差9定理3.3如果连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,则其数学期望与方差分别为

例110某种型号灯泡的使用寿命X小时是一个连续型随机变量,其概率密度为

任取1只灯泡,求这只灯泡使用寿命在600小时~1200小时的概率.例111解:由于连续型随机变量X的概率密度为

例112事件600<X<1200表示任取1只灯泡使用寿命在600小时~1200小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P{600<X<1200}

=e-1-e-2≈0.2326所以任取1只灯泡使用寿命在600小时~1200小时的概率为e-1-e-2≈0.2326例213修理某种机械所需要的时间X小时是一个连续型随机变量,其概率密度为

任取1台待修机械,求修理这台机械需要时间超过2小时的概率.例214解:由于连续型随机变量X的概率密度为

说明连续型随机变量X服从参数为λ=1的指数分布.例215事件X>2表示修理任1台待修机械需要时间超过2小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P{X>2}=e-1×2=e-2≈0.1353所以修理任1台待修机械需要时间超过2小时的概率为e-2≈0.1353例316

(1)任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率(2)任取2只电子元件使用寿命皆超过1000小时的概率.例317解:(1)事件X>1000表示任取1只电子元件使用寿命超过1000小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P{X>1000}

=e-1≈0.3679所以任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率为e-1≈0.3679例318(2)任取2只电子元件中使用寿命超过1000小时的电子元件只数Y是一个离散型随机变量,它服从参数为n=2,p=e-1的二项分布,即离散型随机变量

例319事件Y=2表示任取2只电子元件使用寿命皆超过1000小时,其发生的概率为P{Y=2}

=e-2≈0.1353所以任取2只电子元件使用寿命皆超过1000小时的概率为e-2≈0.1353例420已知连续型随机变量X服从参数为λ=0.1的指数分布,则概率P{X≤20}=

.

解:由于连续型随机变量X服从参数为λ=0.1的指数分布,根据指数分布概率的计算公式,得到概率P{X≤20}=1-e-0.1×20=1-e-2≈0.86470.8647例521设连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,若已知其方差D(X)=4,则数学期望E(X)=(

).

例522解:从已知条件得到关系式

注意到λ>0,容易解出

于是得到数学期望

（b）例623已知连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,求它取值大于数学期望的概率P{X>E(X)}.

例724设连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,且已知它取值大于100的概率P{X>100}=e-2,求:(1)参数λ值;(2)概率P{50<X<150};(3)数学期望E(2X+1);(4)方差D(2X+1).例725解:(1)由于连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,根据指数分布概率的计算公式,计算概率P{X>100}=e-λ×100=e-100λ它应等于所给概率值e-2,有关系式e-100λ=e-2所以得到参数

例726

P{50<X<150}

=e-1-e-3≈0.3181例727(3)由于数学期望

根据§2.4随机变