信息光学第二章

第二章标量衍射理论主讲人：徐世祥基尔霍夫积分定理基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射夫琅和费衍射几种典型衍射本章主要内容教学目的要求本章是教学重点，是信息光学的物理基础。要求学生掌握标量衍射理论，侧重利用菲涅耳衍射与卷积，夫琅和费衍射与傅立叶变化关系解决问题。§2.1引言

光的衍射现象：光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。

光的衍射是光的波动性的主要标志之一。

几何光学中强调的光是直线传播的；而这里又说光不是直线传播的，有衍射现象。这两种说法是不是相互矛盾的呢？不是。几何光学所说的直线传播是在忽略光的波动性情况下的近似。（几何光学理论是近似的）什么情况下几何光学近似成立？1）波长等于零的情况下(不现实)；2）传输距离足够短。总结一句话：菲涅尔数足够大（几百量级）。菲涅尔数如何用波动性去解释和计算衍射光场的分布呢？矢量波衍射理论：严格的电磁波理论，利用一定的边界条件求解麦克斯韦方程组，但复杂，大多数只能数值求解。标量波衍射理论：光波当作标量处理。简单，但属近似处理。标量波衍射理论适用的条件：1）衍射孔径大大于波长；2）观测点到孔径的距离不要太近。菲涅尔数足够小。标量波衍射理论的核心问题用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一观测点的复振幅分布。如果边界上的复振幅分布相同，即使光的振动方向不同，所得到的结果也应该一样。惠更斯理论惠更斯－菲涅耳理论基尔霍夫理论几何方法，直观。缺乏严格理论根据引入干涉理论，不完善引入格林函数，严格标量衍射惠更斯原理

惠更斯原理可以用来确定（1）波阵面的形成（2）波面的传播方向,但不能给出衍射光强的定量分布。波动所达到面上的每一点都是次级子波源，每一子波源发出的次级球面波以一定的速度扩展形成新的波阵面。§2.2基尔霍夫衍射理论波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作一个次级子波源，在其后空间任一点处的光振动则是这些次级波源产生的次级波相干叠加的结果。求解此公式主要问题：K(

)没有确切的表达式惠更斯－菲涅耳原理

基尔霍夫利用格林定理，并采用球面波作为求解波动方程的格林函数，解决了惠更斯—菲涅耳原理的积分问题——基尔霍夫衍射理论。基本思想：将空间上一点的光场用包围该点的任意封闭曲面上的光场及其一阶导数表示出来。基尔霍夫衍射理论用基尔霍夫定理来考察无限大不透明屏幕上一个小孔所引起的衍射问题：平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式对边界条件的假设：1）在孔径

上，光场复振幅分布U及其导数与没有屏幕时完全相同；2）在屏幕的背光面上，光场复振幅分布及其微商恒为0；3）满足基尔霍夫边界条件，则：平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式缺陷：下列条件都不严格。1)在孔径上，光场分布U及其导数与没有屏幕时完全相同；2)在屏幕的背光面上，光场复振幅分布及其微商恒为0。*原则上可通过选格林函数改善。平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式积分面只需考虑衍射孔区域。菲涅耳－基尔霍夫衍射公式条件1:

r01>>

条件2:小孔由位于P2处的单色球面波照明，且P1P2＝r21和r21>>

1）点光源与观测点的位置对等。如将同一点光源与观测点的位置互换，所产生的效果相同。该互易性质，符合物理图象。讨论2）如果菲涅耳－基尔霍夫衍射公式变为P0点光场可等价看成由孔径内无穷多个次级波源的叠加，这些次级波源振幅U’(P1)正比于投射到P1点上的波的振幅。

K(

)有具体形式。

＝180，

K（

）＝0

1/i

不影响实验与理论的一致性。上式正是一个描述线性系统输入－输出的叠加积分。菲涅耳衍射系统是线性系统！描述线性系统输入－输出的叠加积分叠加积分式说明了惠更斯－菲涅尔原理：观察点的光场应是带有不同权重的相干球面子波的线性叠加。光波由P1点所在平面传播到P0点所在平面的过程实际是一个衍射过程，这过程等效于一个系统的作用。由于满足叠加积分，故此系统是线性系统。其脉冲响应函数h(P1,P0)表征了它的传输特征。观察平面上复振幅分布孔径平面上复振幅分布脉冲响应小结1惠更斯原理：波所达到面上的每一点都是次级子波源，每一子波源发出的次级球面波以一定的速度扩展形成新的波阵面。惠更斯－菲涅尔原理是根据波动现象的直觉得来的，它把惠更斯的次级波源概念与杨氏的干涉原理相结合来解决光波的传播和衍射等问题，其中倾斜因子是假设的，没给出具体函数形式。2惠更斯－菲涅尔原理：3基尔霍夫衍射公式：无限大不透明屏幕上一个平面小孔衍射的基尔霍夫衍射公式基于标量波动方程、格林定理等数学基础和边界假设条件。如果小孔被一单色球面波照明，菲涅耳－基尔霍夫衍射公式一步变为上述三个公式物理意义的统一解释：衍射场中P0点的光振动，是由于衍射孔面

内的无数子波源发射的子波叠加的结果。

面上子波源所发射子波的复振幅正比于照明光波在

面上的复振幅U(P1)。各公式的差异仅仅在于对子波源规定了不同的性质。菲涅耳衍射系统是线性系统！从空间域到频率域（角谱）§2.3衍射规律的频率域表达1.衍射规律的频域描述频率为（fx,fy）的指数基元函数代表了以方向余弦cos

＝

fx,cos

＝

fy

，而cos

=[1

(

fx)2

(

fy)2]½传播的平面波；这个平面波分量的复振幅就是Gz(fx,fy)dfxdfy在fx=cos

/

,fy=cos

/

处求值.U(x,y,z)分解为各种空间频率（fx,fy）的指数基元的集合，每个基元的权重密度为Gz(fx,fy)那么Gz(fx,fy)和G0(fx,fy)有什么关系呢？U(x,y,z)必须满足亥姆霍兹方程该式表示了频谱函数Gz(fx,fy)与G0(fx,fy)之间的联系，它是衍射规律的频域表达式；表明可以用频谱的方式来描述光波的衍射过程；角谱的传播，仅多了一个位相因子；频谱传播的物理意义：(1)当(

fx)2+(

fy)2<1时，频谱传播一段距离z的效应是使空间频率为（fx,fy）的频谱分量仅产生一个位相变化，它的振幅和传播方向是不变的。不同的频谱分量（fx,fy不同）对应的位相改变量也不同。传播的结果将导致在新的谱面上产生不同分量之间位相的重新分布。(2)当(

fx)2+(

fy)2=1时，有

=90o，表示与z轴垂直传播的平面光波。(3)当(

fx)2+(

fy)2>1时，此时当[1－(

fx)2+(

fy)2]1/2为虚数。表明满足条件(

fx)2+(

fy)2>1的频谱分量沿z轴方向传播时，将随着z的增大急剧衰减，称这些光波分量为衰逝波。*注意:若照明光波波长为

，那么衍射屏上所具有的精细结构中fn=[(fx)2+(fy)2]1/2>1/

的高频信息将不能被传播到足够远的衍射场中。光束传输过程同时也是空间滤波过程！等价空间滤波器的传递函数为属低通滤波器!2.衍射孔径对角谱的效应孔径透射函数在频率域自由空间的传递函数相当于一圆孔型的低通滤波器。空间域的圆孔对角谱有何作用？显然，对于Ui(x,y)=1(单位均匀平面波照明)有平面波的角谱自由一个，即零频分量。小孔的展宽效应：小孔越小，频谱展宽越显著。（本质还是小孔远场衍射）卷积的展宽效应!矩形小孔基尔霍夫理论是在空间域讨论光的传播：是把孔径平面光场看作点源的集合；观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加；球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。角谱理论是在频域讨论光的传播：孔径平面场分布看作许多不同方向传播的平面波的线性组合；观察平面上场分布等于这些平面波分量相干叠加，但每个平面波分量引入相移了；相移的大小取决于系统的传递函数，它是系统脉冲响应的傅立叶变换。基尔霍夫理论与角谱理论比较如果把描述球面子波相干叠加的基尔霍夫理论称为衍射的球面波理论，角谱理论则可以称作衍射的平面波理论。

基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，只是从不同的角度描述光的传播特性。§2.4菲涅尔衍射和夫琅和费衍射两种类型衍射现象：菲涅尔衍射（近场衍射）和夫琅和费衍射（远场衍射）(根据不同的衍射区域分的)。相对的、近似的。不同的区域，衍射图样具有不同的性质，在数学上的近似程度也不同。标量衍射理论、基尔霍夫理论数学上处理非常困难。在几何阴影区，衍射现象不明显（几何光学近似）。这里注意力集中于衍射现象较为明显，数学上比较容易处理的区域。衍射区域的大概划分菲涅尔数足够小。观察点的P0(x0,y0)的场振幅可写为：近似条件：孔径

与观察平面之间的距离z远大于孔径

的最大线度；只考虑观察平面上z轴附近一个有限小区域（近轴近似）；孔径被沿z轴传输的光照明。由衍射屏和观察屏之间的关系图可得：菲涅耳近似只考虑z轴附近的区域，则可将上式进行级数展开如果只取b的一次项，则菲涅耳近似菲涅耳衍射公式菲涅耳近似的物理意义：由b2以上项对积分的影响可以忽略。菲涅耳数菲涅耳衍射性质菲涅耳衍射系统是线性空不变系统。如果令菲涅耳衍射的卷积积分表达式菲涅耳衍射的卷积积分表达式表明：若把菲涅耳衍射看作是一个系统，则这个系统等效为一个线性空不变系统，因此这个衍射过程存在一个相应的传递函数如下：菲涅耳衍射系统的脉冲响应函数与衍射屏和观测屏上的坐标相对位置有关，而与绝对坐标无关。菲涅耳衍射正比于原函数和一球面波乘积的傅立叶变换。将菲涅耳衍射公式改写成夫琅和费衍射得到夫琅和费公式可提到积分外夫琅和费近似在夫琅和费近似下，因子（x12+y12）对位相的影响可忽略。而观察面上的场分布可直接从孔径上的场分布的傅立叶变换求出即：

夫琅和费衍射范围包含在菲涅衍射范围之内，所以凡能用来计算菲涅耳衍射的公式都能用来计算夫琅和费衍射。夫琅和费近似从形式上破坏了的卷积关系，即破坏了衍射过程“系统”的线性空不变特性。由于仅对于线性空不变系统，其在频域中的作用才可以用系统的传递函数表示，因而对夫琅和费衍射而言，不存在专门的传递函数。不过，由于菲涅耳衍射区包含了夫琅和费衍射区，因此菲涅耳衍射过程的传递函数也适用于夫琅和费衍射。夫琅和费衍射和菲涅衍射衍射关系1矩孔衍射：宽和长分别为a和b的矩形衍射孔，用单位振幅的单色平面光波垂直照明，求离孔距离为z的观察平面上的夫琅和费衍射分布。§2.5夫琅和费衍射计算实例第一步：明确入射光场为1，经矩形孔后，矩形的透射函数就是光场在矩形孔后面的表达式，则第二步：利用夫琅和费衍射求远场光场分布第三步：夫琅和费衍射远场光强分布第四步：夫琅和费衍射远场光强分布特性讨论a、b越大，中心光强的值就越大；波长越长，中心光强值就越小。远场光强中心光斑分布特性讨论中心(x0=0,y0=0)光强：a、b越大，中心光斑尺寸越小；各零点间距越小。m、n为不为零的整数光强分布的零点确定：中心光斑大小：如果a很小而b非常大，即单缝衍射情况，从前面讨论可知：在x方向，中心光斑尺寸变大，相邻零点间距也很大。在y方向，则看不到衍射发生（中心光斑以及相邻零点间距太小）。2双缝衍射：宽和两缝间距分别为a和d，用单位振幅的单色平面光波垂直照明双缝，求离缝距离为z的观察平面上的夫琅和费衍射分布。第一步：明确入射光场为1，经双缝后，透射函数表达式为第二步：利用夫琅和费衍射求远场光场分布第三步：夫琅和费衍射远场光强分布单缝衍射因子干涉因子第四步：夫琅和费衍射远场光强分布特性讨论（作业）3多缝衍射：缝宽和缝间距分别为a和d，缝数为N，用单位振幅的单色平面光波垂直照明多缝屏，求离屏距离为z的观察平面上的夫琅和费衍射分布。多缝的透过函数为第二步：利用夫琅和费衍射求远场光场分布第三步：夫琅和费衍射远场光强分布多光束干涉因子单缝衍射因子多缝衍射是衍射和干涉两种效应共同作用的结果。多缝衍射图样中的亮纹和暗纹位置可通过分析单缝衍射因子和多光束干涉因子的极大值和极小值条件得到。衍射因子零点条件：

afx=m

fx=m/a(m0)I0单fx0-1/a单缝衍射光强曲线1/a2/a-2/a单缝衍射因子中心处：

afx=0fxN204/d-8/d-4/d8/d多光束干涉光强曲线光强有极大值，称为主极大，m为主极大的级次，d称为光栅常数。关于多光束干涉因子主极大的位置与缝数无关，主极大的级次受到衍射角的限制。光栅常数越小，条纹间隔越大。各级主极大的强度为它们是单缝衍射在各级主极大位置上产生的强度的N2倍，零级主极大的强度最大，等于N2I0光强相邻的主极大之间有N-1个零点。当等于

的整数倍而不是

的整数倍时,即干涉因子有极小值为零。在相邻两个零值之间也应有一个次极大，次极大的宽度随N增大而减小。(两个主极大之间有几个次极大？)总的光强分布为干涉图案被衍射函数调制的结果。注意干涉主极大与衍射的零点重合时强度为零。当a足够小时，衍射光斑很大，观测到的图案即为由多缝干涉引起。IN2I0单04/d8/d-8/dfx单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线-4/dd=4aI0fx0-1/a单缝衍射光强曲线1/a2/a-2/a1多光束干涉光强曲线fxN204/d-8/d-4/d8/d4.正弦型振幅光栅的夫琅和费衍射正弦型振幅光栅的透过率函数定义为：x1y1夫琅和费衍射求远场光场分布观察屏上光强分布为：5.正弦型位相光栅的夫琅和费衍射正弦型位相光栅的透过率函数定义为：对位相因子进行变换：观察屏上衍射光场分布：第一类贝塞尔函数傅立叶－贝赛尔变换——求圆对称函数的傅立叶变换。在极坐标系中，圆对称函数仅仅是半径r的函数，与极角无关。6圆孔的夫琅和费衍射傅立叶－贝赛尔变换是二维傅立叶变换用于圆对称函数的一个特殊情况，有关傅立叶变换的定理完全适用于傅立叶－贝赛尔变换圆孔的透过率函数为：由于孔径是圆对称的，利用傅立叶－贝赛尔变换及其相似性定理得到：d=2a观察平面上的衍射光波场分布为：观察平面上的光强场分布为：有用的资料，不用记！傅立叶成像，自成像，泰保效应(TalbotEffect)：用单色光波垂直照射一个周期性物体（如透射光栅）时，在物体的后面周期性距离上出现物体的像。这种自成像效应就称为泰保效应，也称傅立叶成像、自成像。它不是一种透镜成像