广西壮族自治区桂林市新星高级中学2022年高一数学文期末试卷含解析

广西壮族自治区桂林市新星高级中学2022年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角A=（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：B【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式利用完全平方公式展开整理后，代入表示出的cosA中求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：把（b+c）2﹣a2=3bc整理得：b2+2bc+c2﹣a2=3bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA===，又A为三角形的内角，则角A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2.定义函数（定义域），若存在常数C，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为C．已知，，则函数在上的均值为…………（

）A．

B．

C．

D．10参考答案：C3.定义在R上的奇函数f（x），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为(

)A． B．C． D．参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f（﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解集【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（）=0，∴f（﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0综上xf（x）＞0的解集为故选B【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f（﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减是解题的关键．4.（5分）函数f（x）=x﹣（）x的零点所在的一个区间为（） A． （0，） B． （，] C． （，1） D． （1，2）参考答案：B考点： 函数零点的判定定理．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用函数的零点判定定理，判断即可．解答： 解：由函数的零点判定定理可知，连续函数f（x）在（a，b）时有零点，必有f（a）f（b）＜0．f（0）=﹣1＜0．f（）==＜0．f（）==0．f（1）=＞0．f（2）=＞0．所以函数的零点是x=．故选：B．点评： 本题考查函数点了点判定定理的应用，基本知识的考查．5.已知集合，等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.（4分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（） A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （e，+∞）参考答案：B考点： 函数零点的判定定理．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数零点的判断条件，即可得到结论．解答： ∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B点评： 本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．7.已知函数，且，则使成立的的取值范围是

A． B． C．

D．参考答案：C略8.已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：D【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求出值．【解答】解：sin（a+）=sin[﹣（﹣α）]=cos（﹣α）=cos（α﹣）=，则cos（2α﹣）=2﹣1=2×﹣1=﹣故选D【点评】考查学生灵活运用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简求值．9.（5分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（） A． 16 B． 8 C． ﹣16 D． ﹣8参考答案：A考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用幂函数的奇偶性和单调性即可求出．解答： ∵幂函数f（x）=（m∈Z）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=（m∈Z）是偶函数，又∵幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）上为增函数，∴﹣m2+2m+3是偶数且﹣m2+2m+3＞0，∵m∈N*，∴m=1，∴幂函数f（x）=x4，f（﹣2）=16．故选：A．点评： 熟练掌握幂函数的奇偶性和单调性是解题的关键．10.已知向量＝（），＝（１，）且，其中，则等于（）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆：与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若，则实数k的值是

．参考答案：3略12.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则

_____参考答案：略13.已知二次函数，如果存在实数m,n(m<n),使得的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]，则

.参考答案：－414.给出下列语句：①若a，b为正实数，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；②若a，b，m为正实数，a＜b，则③若，则a＞b；④当x∈（0，）时，sinx+的最小值为2，其中结论正确的是．参考答案：①③【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】①，若a，b∈R+，a≠b，∵a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a﹣b）2（a+b）＞0；②，若a，b，m∈R+，a＜b，作差判断即可；③不等式中c≠0，不等式的两边同乘以c2，判断结论即可；④，当x∈（0，）时，sinx∈（0.1），结合不等式的性质判断即可．【解答】解：对于①，若a，b∈R+，a≠b，∵a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a﹣b）2（a+b）＞0，故a3+b3＞a2b+ab2正确；对于②，若a，b，m∈R+，a＜b，则﹣=＞0，则＞故错；对于③，若，则a＞b，故正确；对于④，当x∈（0，）时，若sinx+的最小值为2，则sinx=，显然不成立，故错误，故答案为：①③．15.过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数为条．参考答案：2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：探究型；直线与圆．分析：由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可得=1，求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．解答：解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3因为直线l经过（a，0），可得+3=b变形得=1，因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．故答案为2．点评：本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．16.函数f（x）=3cos（x﹣）的最小正周期为

．参考答案：4【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意，分析易得函数f（x）=3cos（x﹣）中ω=，由其周期公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=3cos（x﹣），其中ω=，其最小正周期T==4；故答案为：4．17.=．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：===，故答案为：．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在中，分别是角的对边，已知．（Ⅰ）若2cos2B-8cosB+5=0，判断的形状；（Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围．参考答案：∴

………

7分∵

………

10分19.（6分）已知数列满足如图所示的程序框图。

（I）写出数列的一个递推关系式；并求数列的通项公式（Ⅱ）设数列的前项和，证明不等式≤，对任意皆成立．参考答案：解（Ⅰ）由程序框图可知,数列{an}的一个递推关系式:，

…………1分，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列，

…………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列的前项和

……………4分对任意的，所以不等式，对任意皆成立．………………6分20.已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}（1）若B=?，求m的取值范围；（2）若B?A，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）当B=?时，由题意：m+1＞2m﹣1，由此能求出m的取值范围．（2）分B=?和B≠?两种情况分类讨论，能求出实数m的范围．【解答】（本小题满分10分）解：（1）当B=?时，由题意：m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，（2）（i）当B=?时，由题意：m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，此时B?A成立；（ii）当B≠?时，由题意：m+1≤2m﹣1，解得：m≥2，若使B?A成立，应有：m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3，此时2≤m≤3，综上，实数m的范围为（﹣∞，3]．21.定义运算：（1）若已知，解关于的不等式（2）若已知，对任意，都有，求实数的取值范围。参考答案：（1）解：（2）因为对任意，都有，所以的图像开口向下，对称轴为直线①若，即，则在为减函数，所以，解得，所以②若，即，则，解得所以③若，即，则在为增函数，所以，解得，所以综上所述，的取值范围是22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求点M到平面PBC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PB的中点为Q，连接AQ，NQ，由三角形中位线定理结合已知可得四边形AMNQ为平行四边形，得到MN∥AQ．再由线面平行的判定可得MN∥平面PAB；（2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE==，进一步得到S△PBC．然后利用等积法求得点M到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ；∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN=BC=2，又∵AM=2MD，AD=3，∴AM=AD=2且AM∥BC，∴QN∥AM且QN=A