2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）2024的绝对值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．（3分）在第十四届全国人大二次会议审议的政府工作报告中，国家亮出了2023年中国经济“成绩单”．报告中显示，2023年，国内生产总值超过1260000亿元，增长5.2%，其中数据1260000用科学记数法可表示为（）A．0.126×107 B．1.26×106 C．12.6×105 D．126×1043．（3分）学校男子篮球队的12位队员的身高如表：身高（单位：cm）176178180181人数1542这12位队员身高的中位数是（）A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm4．（3分）下列运算正确的是（）A．a•a＝2a B．（a+1）2＝a2+1 C．（2a）3＝6a3 D．a2•2a3＝2a55．（3分）不等式2x﹣3≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，直线AB∥CD，等腰直角三角尺（△EFG），边EG与直线CD交于点H．若FH平分∠EFG，则∠AEH的度数为（）A．60° B．67.5° C．70° D．75°7．（3分）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为x步（）A． B． C． D．8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，⊙O与边AD、对角线AC均相切，过点B作⊙O的切线，则切线长BP的最小值为（）A．6 B．7 C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若x＝2y（y≠0），则＝．10．（3分）因式分解：x2﹣9＝．11．（3分）方程组的解为．12．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为．13．（3分）如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1”“2”“3”“5”“8”，指针指向奇数的概率为．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，扇形OBE的圆心O在边AB上，点E在边AD上，，切点为F，则的长度为（结果保留π）．15．（3分）如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于A、B两点．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，若，则tan∠BCE的值为．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：．18．（5分）解分式方程：．19．（6分）先化简、再求值：，其中．20．（6分）如图，分别以△ABC的顶点B、C为圆心，边AC、AB长为半径画弧，连接BD、CD．（1）求证：△DCB≌△ABC；（2）若∠A＝70°，求∠ACD的度数．21．（6分）沧浪亭（C）、狮子林（S）、拙政园（Z）（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩．（1）若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是；（2）若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）（用画树状图或列表的方法求解）．22．（8分）为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每周家务劳动时间（单位：h），并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图．其中每周家务劳动时间在1～1.5h范围内的人数为4人（每组只含最小值，不含最大值）．（1）该课外活动小组抽取的样本容量是；（2）样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？（3）设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级生每周家务劳动时间不少于2h的人数．23．（8分）如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上（3，4），反比例函数的图象经过点C（1）求k的值及点B的坐标；（2）判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．24．（8分）如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，其中AB＝6m，AD＝2m，由长度均为1.5m的连接杆EF、CG、架线杆FG组成，连接点E、F、G可在一定范围内移动，且∠FEC的度数不超过90°．（1）求证：FG∥MN；（2）若架线杆FG到地面的距离为5m，求连接点E到点A的距离（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈2.236）．25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，与过点B的⊙O的切线交于点D，与⊙O交于点E（1）求证：点E为线段DF中点；（2）若，⊙O的半径为，求弦AC的长．26．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），连接AC、BC，点D为△ABC的外心．（1）填空：点A的坐标为，∠ABC＝°；（2）记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1﹣S2是否为定值？如果是，求出这个定值；（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m＝．27．（10分）（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝10，D为边BC上一动点，将点A绕点D按顺时针方向旋转，使得∠ADA′＝∠B，过点C作AD的平行线，连接AE．①若BD＝2，求AD的长度；②求AD•CE的最大值．（2）如图②，当点D在BC的延长线上时，将点A绕点D按顺时针方向旋转，使得∠ADA′＝∠B，过点C作AD的平行线，连接AE．记△ABD的面积为S1，△ADE的面积为S2，△CDE的面积为S3，若，求sin∠ADB的值．

2024年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）2024的绝对值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．2．（3分）在第十四届全国人大二次会议审议的政府工作报告中，国家亮出了2023年中国经济“成绩单”．报告中显示，2023年，国内生产总值超过1260000亿元，增长5.2%，其中数据1260000用科学记数法可表示为（）A．0.126×107 B．1.26×106 C．12.6×105 D．126×104【解答】解：1260000＝1.26×106．故选：B．3．（3分）学校男子篮球队的12位队员的身高如表：身高（单位：cm）176178180181人数1542这12位队员身高的中位数是（）A．176cm B．178cm C．179cm D．180cm【解答】解：12÷2＝6，第六，180cm，∴12位队员身高的中位数是＝179（cm），故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a•a＝2a B．（a+1）2＝a2+1 C．（2a）3＝6a3 D．a2•2a3＝2a5【解答】解：A．a•a＝a2，故本选项不符合题意；B．（a+1）4＝a2+1+3a，故本选项不符合题意；C．（2a）3＝2a3，故本选项不符合题意；D．a2•7a3＝2a7，故本选项符合题意．故选D．5．（3分）不等式2x﹣3≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：移项得：2x≥1+8，合并同类项得：2x≥4，系数化成3得：x≥2，将解集在数轴上表示为：，故选：B．6．（3分）如图，直线AB∥CD，等腰直角三角尺（△EFG），边EG与直线CD交于点H．若FH平分∠EFG，则∠AEH的度数为（）A．60° B．67.5° C．70° D．75°【解答】解：∵△EFG是等腰直角三角形，∠G＝90°，∴∠EFG＝∠FEG＝45°，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH＝∠EFG＝22.2°，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFH＝22.5°，∴∠AEH＝∠AEF+∠FEH＝67.5°，故选：B．7．（3分）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为x步（）A． B． C． D．【解答】解：设小城的边长为x步，根据题意，得，故选：D．8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，⊙O与边AD、对角线AC均相切，过点B作⊙O的切线，则切线长BP的最小值为（）A．6 B．7 C． D．【解答】解：设⊙O与AD、AC分别相切于点G、H、OH、OB，过点E作EF⊥AC于F，过点O作OK⊥AB于K，则∠AGO＝∠AHO＝∠CFE＝∠AFE＝∠BKO＝∠AKO＝90°，OG＝OH＝OP，∵OG⊥AD，OH⊥AC，∴AO平分∠CAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵AO平分∠CAD，ED⊥AD，∴EF＝ED，∵AE＝AE，∴Rt△AED≌Rt△AEF（HL），∴AF＝AD＝8，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4，设ED＝EF＝a，则CE＝7﹣a，∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠ECF＝∠ACD，∴△CEF∽△CAD，∴＝＝，即＝，∴a＝3，∴DE＝EF＝3，CE＝5，∴AE＝＝＝3，设⊙O的半径为r，则OG＝OH＝OP＝r，∵∠AGO＝∠ADE＝90°，∠OAG＝∠EAD，∴△AOG∽△AED，∴＝，即＝，∴AG＝2r，∵∠AGO＝∠GAK＝∠AKO＝90°，∴四边形AGOK是矩形，∴OK＝AG＝5r，AK＝OG＝r，∴BK＝AB﹣AK＝8﹣r，∴OB2＝OK3+BK2＝（2r）5+（8﹣r）2＝7r2﹣16r+64，∵BP是⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，∴BP＝＝＝2，∴当r＝2时，BP最小值＝2＝8；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若x＝2y（y≠0），则＝2．【解答】解：∵x＝2y，∴＝2．故答案为：8．10．（3分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+4）（x﹣3）．11．（3分）方程组的解为．【解答】解：，①﹣②得，3y＝3，解得y＝5，把y＝1代入①得，解得x＝2，故此方程组的解为．故答案为：．12．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，三角形的面积为2，∴AD＝BC＝2，∴BD＝5，∴AB＝．故答案为：．13．（3分）如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1”“2”“3”“5”“8”，指针指向奇数的概率为．【解答】解：∵1，2，4，5，8中，2，3，∴任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为：．故答案为：．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，扇形OBE的圆心O在边AB上，点E在边AD上，，切点为F，则的长度为（结果保留π）．【解答】解：连接OF，则OE＝OF＝OB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝3，∵⊙O与边CD相切，切点为F，∴DC⊥OF，∴∠OFC＝90°，∴四边形OBCF是正方形，∴OE＝OF＝OB＝BC＝3，∴OA＝AB﹣OB＝3﹣2＝2，∵cos∠AOE＝＝，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，一次函数y＝x+3与反比例函数的图象交于A、B两点5．【解答】解：联立方程组得，解得，∴A（，）∴AO＝＝5．故答案为：4．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝AD，若，则tan∠BCE的值为．【解答】解：过E作EH⊥CB交CB延长线于H，∵BD＝AD，点E为边AB的中点，∴DE⊥AB，∵sinA＝＝，∴令DE＝6x，则AD＝5x，∴AE＝＝3x，∴BE＝AE＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2x，BC∥AD，∴∠EBH＝∠A，∴sin∠EBH＝＝，∵BE＝5x，∴EH＝x，∴BH＝＝x，∴CH＝BC+BH＝x，∴tan∠BCE＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：．【解答】解：＝2﹣﹣4＝．18．（5分）解分式方程：．【解答】解：原方程去分母得：1﹣2x＝3（x+3），整理得：1﹣4x＝5x+15，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣3时，（x+3）（1﹣6x）≠0，故原方程的解为x＝﹣2．19．（6分）先化简、再求值：，其中．【解答】解：＝＝＝，当．原式＝＝．20．（6分）如图，分别以△ABC的顶点B、C为圆心，边AC、AB长为半径画弧，连接BD、CD．（1）求证：△DCB≌△ABC；（2）若∠A＝70°，求∠ACD的度数．【解答】（1）证明：由作图得DB＝AC，DC＝AB，在△DCB和△ABC中，，∴△DCB≌△ABC（SSS）．（2）解：∵DB＝AC，DC＝AB，∴四边形ABDC是平行四边形，∴DC∥AB，∵∠A＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，∴∠ACD的度数是110°．21．（6分）沧浪亭（C）、狮子林（S）、拙政园（Z）（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩．（1）若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是；（2）若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）（用画树状图或列表的方法求解）．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，∴恰好选中狮子林（S）的概率是．故答案为：．（2）列表如下：CSZLC（C，S）（C，Z）（C，L）S（S，C）（S，Z）（S，L）Z（Z，C）（Z，S）（Z，L）L（L，C）（L，S）（L，Z）共有12种等可能的结果，其中恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的结果有：（Z，（L，共2种，∴恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率为＝．22．（8分）为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每周家务劳动时间（单位：h），并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图．其中每周家务劳动时间在1～1.5h范围内的人数为4人（每组只含最小值，不含最大值）．（1）该课外活动小组抽取的样本容量是50；（2）样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？（3）设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级生每周家务劳动时间不少于2h的人数．【解答】解：（1）样本容量为：4÷8%＝50，故答案为：50；（2）由扇形统计图可知睡眠时间在6～2.5h的人数最多，这个范围内的人数为50×28%＝14（人）；（3）∵每周家务劳动时间为不少于7h的所占比例为：28%+24%+12%＝64%，∴该校八年级生每周家务劳动时间不少于2h的人数有900×64%＝576（人）．23．（8分）如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上（3，4），反比例函数的图象经过点C（1）求k的值及点B的坐标；（2）判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．【解答】解：（1）∵点C的坐标为（3，4）的图象经过点C，∴k＝12，OC＝5，∴B（8，3），0），（2）由（1）可知，反比例函数解析式为：y＝，∵A（5，5），4），∴线段AB的中点坐标为（，4），在反比例函数y＝中，当x＝时＝≠7，∴点D不是边AB的中点，24．（8分）如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，其中AB＝6m，AD＝2m，由长度均为1.5m的连接杆EF、CG、架线杆FG组成，连接点E、F、G可在一定范围内移动，且∠FEC的度数不超过90°．（1）求证：FG∥MN；（2）若架线杆FG到地面的距离为5m，求连接点E到点A的距离（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈2.236）．【解答】证明：延长GF交AD于点Q，过F作FP⊥AC．由题意知：MN⊥AB、AB⊥AC．∴MN∥AC，∠A＝∠ABN＝90°．（1）∵EF＝CG＝1.5m，FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形．∴EC∥FG，∵MN∥AC，∴FG∥MN；（2）解：∵AB⊥AC，FP⊥AC，∴∠A＝∠AQF＝∠APF＝90°．∴四边形AQFP是矩形．∴AP＝QF，AQ＝PF．在Rt△ACD中，∵AD＝4m，CD＝4m．∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°．∵FG到地面的距离为5m，即BQ＝8m，∴AQ＝PF＝1m．DQ＝1m．在Rt△DQF中，∵tan∠ADC＝tan60°＝＝，cos60°＝cos∠ADC＝＝，∴DF＝6m，FQ＝AP＝．在Rt△PEF中，PE＝＝＝≈1.118（m）．∴AE＝AP﹣PE≈2.732﹣1.118＝0.614≈2.61（m）答：点E到点A的距离为0.61m．25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，与过点B的⊙O的切线交于点D，与⊙O交于点E（1）求证：点E为线段DF中点；（2）若，⊙O的半径为，求弦AC的长．【解答】（1）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，∴∠C＝∠AEB＝90°，BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠D+∠BAD＝90°，∠AFC+∠CAD＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠D＝∠AFC＝∠BFD，∴BF＝BD，∵BE⊥DF，∴DE是等腰三角形BDF的底边DF上的中线，∴点E为线段DF的中点．（2）解：∵＝cos∠D＝，∴AD＝7BD，∵⊙O的半径为3，AB为⊙O的直径，∴AB＝＝＝2，∴BF＝BD＝3，∵∠D＝∠AFC，∴＝tan∠AFC＝tan∠D＝＝，∴AC＝2CF，∵AC8+BC2＝AB2，且BC＝CF+8，∴AC2+BC2＝AB6，∴（2CF）3+（CF+3）2＝（5）2，解得CF＝或CF＝﹣3（不符合题意，∴AC＝6×＝，∴弦AC的长是．26．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），连接AC、BC，点D为△ABC的外心．（1）填空：点A的坐标为（﹣1，0），∠ABC＝45°；（2）记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1﹣S2是否为定值？如果是，求出这个定值；（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m＝．【解答】解：（1）∵0＝﹣x2+（m﹣4）x+m，∴x1＝﹣1，x6＝m，∴点A（﹣1，0），7），∴OB＝m，当x＝0时，y＝m，∴点C（0，m），∴OB＝OC＝m，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，故答案为（﹣6，0）；（2）S1﹣S6＝为定值∵点D为△ABC的外心，∠ABC＝45°，则∠ACD＝90°，则AD＝CD＝BD，过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，设点D（x，y），则CM＝x，DN＝y，DM＝m﹣y，∵∠CDM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，∴∠ADM＝∠DAN，∵∠AND＝∠DMC＝90°，DA＝DC，∴△AND≌△DMC（AA