重难点 平行四边形与特殊平行四边形专项 中考数学

重难点04平行四边形与特殊平行四边形考点一：平行四边形平行四边形的性质和判定属于难度不大，但是考察性比较多的一个考点，并且可综合性也比较强，特别是平行四边形的存在性问题，常常和函数结合出大题考察。题型01多边形相关 易错点：n边形内角和公式：（n-2）×180°【中考真题练】1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（）A．30° B．150° C．360° D．1800°2．（2023•湘西州）一个七边形的内角和是（）A．1080° B．900° C．720° D．540°3．（2023•绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（）A．4条 B．5条 C．6条 D．9条4．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝．5．（2023•长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为度．6．（2023•淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是．【中考模拟练】1．（2024•恩施市校级一模）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（）边形．A．6 B．8 C．10 D．122．（2024•江城区一模）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（）A．30° B．36° C．60° D．72°3．（2024•巧家县模拟）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．134．（2024•子洲县校级二模）工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地．他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是米．5．（2024•西安一模）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝°．题型02平行四边形的判定和性质 易错点01：平行四边形的性质都很重要，有很多的角相等和边相等，都要多加重视；易错点02：平行四边形的判定方法比较多，其中定义法后期的可综合性很强解题大招01：平行四边形问题常转化为全等三角形来思考；解题大招02：坐标平面内有3个定点，找第4个点形成平行四边形的基本步骤①设第4个点的坐标；②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论；③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解；【中考真题练】1．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD2．（2023•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（）A．6 B．4 C． D．3．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023•邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C5．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为．6．（2023•西宁）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．（1）求证：△AEM≌△CFM；（2）若AC⊥EF，，求四边形AECF的周长．7．（2023•无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形．8．（2023•株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．【中考模拟练】1．（2024•雁塔区校级二模）如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）2．（2024•韶关模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝4，BC＝3，则EC等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．33．如图，已知点P，Q分别是四边形ABCD的边AB，CD上的点，有如下条件：①AP＝CQ；②∠APD＝∠CQB；③AB∥CD；④四边形ABCD是平行四边形．则根据已知及下列条件的组合不能得到四边形BQDP是平行四边形的是（）A．①和④ B．①和③ C．②和③ D．②和④4．（2024•河西区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝18，BC＝30．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为．5．（2024•东安县一模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若△ABE的面积为6，则图中阴影部分的面积为．6．（2024•浙江一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案分别取AO，CO的中点E，F作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；（2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积．题型03中心对称与三角形中位线解题大招01：判断中心对称图形图象时，可以把试卷直接头尾颠倒看，还一样的那个就是中心对称图形；解题大招02：三角形的中位线的性质既可以提供线段间的数量关系，也可以提供线段的位置关系；数量关系可以用来求长度，位置关系常用来求角度；【中考真题练】1．（2023•菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A． B． C． D．3．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（）A． B．7 C． D．84．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为cm．5．（2023•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为．6．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．【中考模拟练】1．（2024•扶沟县一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．2．（2024•秦都区校级模拟）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（）A．24 B．16 C．18 D．123．（2024•东平县校级一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.54．（2024•东明县一模）如图，△ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（）A． B． C． D．5．（2024•张店区一模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为．6．（2023•杭州二模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE＝AD，DF＝2．（1）求证：DE为∠ADF的角平分线；（2）求BD的长．考点二：矩形矩形是特殊平行四边形中比较重要的两个图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一。其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视。题型01矩形的性质 易错点：矩形性质中，两条对角线互相平分且相等解题大招：矩形的问题除了要思考矩形本身的性质外，综合问题也可以转化为直角三角形或等腰三角形。【中考真题练】1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（）A． B． C． D．2．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积3．（2023•西藏）如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．44．（2023•丹东）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若，则矩形ABCD的周长是（）A． B． C． D．5．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为．6．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为．7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；（2）当CD＝4时，求EG的长．8．（2023•温州）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．（1）求证：BE＝CF；（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．【中考模拟练】1．（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（）A． B． C．4 D．22．（2024•信阳一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点H是AC的中点，沿对角线AC把矩形剪开得到两个三角形，固定△ABC不动，将△ACD沿AC方向平移，（A'始终在线段AC上）得到△A'C'D'，连接HD'，设平移的距离为x，当HD'长度最小时，平移的距离x的值为（）A． B． C． D．3．（2024•东安县一模）如图矩形ABCD的边AD在y轴上，点B的坐标为（，﹣2），将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG此时，点B的对应点E与点D的对应点G均落在x轴上，则点F的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（﹣3，） C．（﹣2，2） D．（﹣2，）4．（2024•拱墅区一模）如图，在矩形ABCD中，，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或5．（2024•介休市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝14，E是BC边上一点，且BE＝6，连接AE．若∠CAE＝45°，则CE的长为（）A．20 B．29 C． D．6．（2024•阳春市一模）如图，菱形ABCD中，，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为．7．（2024•北京模拟）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在DC延长线上，连接BE、OE，OE与BC交于点F，若∠CEB＝45°，BE＝DE，下列三个结论：①OE⊥BD；②EF＝AC；③BF＝2CF；④．其中正确的结论是．8．（2024•东海县一模）如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD．（1）求证：∠FEC＝∠FCE；（2）试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由．题型02矩形的判定和性质的综合【中考真题练】1．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为．3．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．（1）求证：OE＝OF；（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．4．（2023•北京）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．5．（2023•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．【中考模拟练】1．（2024•梁溪区校级模拟）下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边都相等的四边形是菱形2．（2024•霍邱县模拟）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（）A．四边形ABCD是矩形 B．当点E是AB的中点时，OF＝CD C．当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D．当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形3．（2024•北京模拟）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当时，四边形ACBD为矩形．4．（2024•林州市模拟）如图，点A（0，2），点B（2，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为．5．（2024•桂阳县模拟）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．6．（2024•文山市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝3，求BF的长．7．（2024•巧家县校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G．（1）请你添加一个条件：，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．（2）在（1）的条件下，若AE＝5，tan∠DAE＝2，EG＝2GF，求AG的长．考点三：菱形菱形作为特殊平行四边形中的一个，在中考数学中的重要性不用多说，而且因为其性质的特殊性，菱形也常和其他几何考点结合出题。菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，综合题中也常单独或者结合出题等方式以压轴题出现，难度也较大。题型01菱形的性质 易错点：菱形性质中，等价线段有——四条边相等、每条对角线被交点平分；等价角有——两组对角分别相等、每条对角线平分一组内角所得的4个角相等；解题大招：菱形的性质是除了正方形外最多的，但思考问题时菱形也常转化为等腰三角形或直角三角形。【中考真题练】1．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（）A． B．1 C． D．2．（2023•乐山）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B． C．3 D．43．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）4．（2023•临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为．5．（2023•金昌）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝cm．6．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝．7．（2023•浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．（1）求证：AE＝AF；（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．8．（2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠1＝∠2；（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．【中考模拟练】1．（2024•泌阳县一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（）A．3 B．4 C．4.8 D．52．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M、N分别是BC、AD的中点，连接AM、CN．若四边形AMCN为菱形，则▱ABCD的面积为（）A．7.5 B．9.6 C．12 D．153．（2024•香洲区校级一模）如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，△ABC是格点三角形，将△ABC平移后仍为格点三角形（本身除外）的方法有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种4．在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（3，，，将菱形OABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，则顶点B′的坐标为（）A．（3，3） B．（5，0） C． D．5．（2024•西安模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝，点E为BC延长线上的一点，连接AE交BD于点F，连接CF，若CF⊥AE，则BE的长为．6．（2024•温江区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为．7．（2024•梁溪区校级模拟）用没有刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．（1）已知△ABC，以∠B为一个内角的菱形BEFG，使顶点F在AC边上；（2）若∠A＝45°，tanB＝，AC＝，则（1）中作出的菱形BEFG的面积为．8．（2024•苍溪县一模）菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，若∠ABC＝45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点N．（1）求证：；（2）若AB＝4，求AN的长度．9．（2024•河北模拟）如图，已知四边形ABCD是菱形，延长BA到E，使EA＝BC，连接ED．（1）求证：∠EDB＝90°；（2）已知，AB＝13，求DE的长．题型02菱形的判定和性质的综合【中考真题练】1．（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（）A．1 B． C． D．33．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．4．（2023•湘西州）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．（1）求证：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．5．（2023•张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求证：AE∥BF；（2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．6．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．7．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．【中考模拟练】1．（2024•南通一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC2．（2024•丽水一模）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形ABCD的周长不变 B．四边形ABCD的面积不变 C．AD＝AB D．AB＝CD3．（2023•赵县二模）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是4．（2024•惠城区模拟）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（）①；②与△EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④5．（2024•昭通一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．6．（2024•武威一模）如图，▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．（1）求证：▱ABEF是菱形；（2）若▱ABCD∽▱FDCE，则的值为．7．（2022•平谷区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．（1）求证：四边形AEBF是菱形；（2）若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．考点四：正方形正方形在中考中常作为选择题的压轴题出现，而且多考察正方形的性质。题型01正方形的性质解题大招：正方形的问题常转化为等腰直角三角形来思考，另外，正方形也常和勾股定理结合，比如赵爽弦图。【中考真题练】1．（2023•安徽）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（）A．2 B． C．+1 D．2．（2023•攀枝花）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（）A． B．2 C． D．3．（2023•宜宾）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（）A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）4．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（）A．2 B． C．1 D．5．（2023•青岛）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（）A． B． C．2 D．6．（2023•绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A． B． C． D．7．（2023•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则的值是（）A． B． C． D．8．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK•HD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为．10．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为．11．（2023•绍兴）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．（1）求证：∠DAG＝∠EGH；（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．【中考模拟练】1．（2024•修水县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形2．（2024•包河区一模）如图，已知，正方形ABCD边长为1，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，点P是CD边的中点，BP与半圆交于点Q，连接DQ．下列结论错误的是（）A．DQ＝1 B． C． D．3．（2024•丰顺县一模）如图，分别以△ABC的三边AB、BC．AC为边向外侧作正方形AFGB．正方形BHLC．正方形ACDE，连接EF，GH、DL，再过A作AK⊥BC于K．延长KA交EF于点M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE＝S正方形BHLO；②EM＝MF；③当AB＝3，BC＝5．∠BAC＝90°时，S阴影部分＝20．其中正确的结论共有（）个．A．0 B．1 C．2 D．34．（2024•宜兴市模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC上的有一动点P，以DP为边作正方形DPFG．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；④△CDP为等腰三角形时，AP的值为2或4﹣4．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④5．（2024•东海县一模）正方形ABCD的边长是6，点E是DC边延长线上一点，连接EB，EA，过点A作AF⊥AC，交EB的延长线于点F，，则AF的长为．6．（2024•汕尾一模）如图1，小言用七巧板拼了一个对角线长为6的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示），则矩形的对角线长为．7．（2024•广水市一模）长相等的两个正方形ABCO、ADEF如图摆放，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AG，已知OA长为，∠1＝∠2，AG＝2，在直线PE上找点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为．8．（2024•常德模拟）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．连接AE，AF，CE，CF．（1）请判断四边形AECF的形状，并说明理由；（2）若四边形AECF的周长为8，且BE＝2，求正方形ABCD的边长．重难点平行四边形与特殊平行四边形解析考点一：平行四边形平行四边形的性质和判定属于难度不大，但是考察性比较多的一个考点，并且可综合性也比较强，特别是平行四边形的存在性问题，常常和函数结合出大题考察。题型01多边形相关 易错点：n边形内角和公式：（n-2）×180°【中考真题练】1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（）A．30° B．150° C．360° D．1800°【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．2．（2023•湘西州）一个七边形的内角和是（）A．1080° B．900° C．720° D．540°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【解答】解：（7﹣2）×180°＝900°，故选：B．3．（2023•绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（）A．4条 B．5条 C．6条 D．9条【分析】根据轴对称定义画出正六边形的对称轴即可．【解答】解：如图，正六边形的对称轴有6条．故答案为：C．4．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝5．【分析】根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可．【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，∴n＝360÷72＝5，故答案为：5．5．（2023•长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为45度．【分析】由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案为：45．6．（2023•淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是．【分析】以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，由正六边形性质可得C，B，E共线，A，D，E共线；而∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，即有∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，设正六边形的边长为m，则BD＝2BE＝2m＝BC，故DE＝BE＝m＝AD，CE＝BC+BE＝3m，从而tan∠ACB＝＝＝．【解答】解：以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，如图：由正六边形性质可知∠HBC＝60°，∠HBE＝120°，∴∠HBC+∠HBE＝180°，∴C，B，E共线；由正六边形性质可得∠KDG＝120°＝∠AKD，AK＝DK，∴∠ADK＝30°，∴∠ADG＝∠KDG﹣∠ADK＝90°，同理∠EDG＝∠FDG﹣∠FDE＝120°﹣30°＝90°，∴∠ADG+∠EDG＝180°，∴A，D，E共线；∵∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，∴∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，设正六边形的边长为m，则BD＝2BE＝2m＝BC，∴DE＝BE＝m＝AD，CE＝BC+BE＝3m，∴AE＝2m，∴tan∠ACB＝＝＝；故答案为：．【中考模拟练】1．（2024•恩施市校级一模）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（）边形．A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据多边形的内角与外角的关系可求解外角的度数，再利用多边形的外角和可求解．【解答】解：∵一个多边形每一个内角都为144°，∴外角为180°﹣144°＝36°，∴多边形的边数为360°÷36°＝10，故选：C．2．（2024•江城区一模）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（）A．30° B．36° C．60° D．72°【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°，∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：A．3．（2024•巧家县模拟）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝360°，解得：n＝12，即这个多边形的边数为12，故选：C．4．（2024•子洲县校级二模）工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地．他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是12米．【分析】根据题意得到∠AOB的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案．【解答】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点O进行的铺设，∴，∴设这块正多边形地砖的边数是n，∴（n﹣2）×180°＝n×150°，解得：n＝12，∵选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地，∴这块正多边形地砖的周长＝12×1＝12（米），故答案为：12．5．（2024•西安一模）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝36°．【分析】根据多边形的内角和公式计算正五边形的内角，然后计算∠BAC即可．【解答】解：∵正五边形的内角为：＝108°，∴∠BAC＝360°﹣108°×3＝36°．故答案为：36．题型02平行四边形的判定和性质 易错点01：平行四边形的性质都很重要，有很多的角相等和边相等，都要多加重视；易错点02：平行四边形的判定方法比较多，其中定义法后期的可综合性很强解题大招01：平行四边形问题常转化为全等三角形来思考；解题大招02：坐标平面内有3个定点，找第4个点形成平行四边形的基本步骤①设第4个点的坐标；②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论；③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解；【中考真题练】1．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．【解答】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；故选：B．2．（2023•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（）A．6 B．4 C． D．【分析】由平行四边形的性质得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，再证∠ABE＝∠AEB，则AE＝AB＝8，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF＝ED＝2，则EF＝2，CF＝6，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝8，∵AE＝2ED，∴2ED＝8，∴ED＝4，如图，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝∠EFD＝90°，∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，∴DF＝ED＝2，∴EF＝＝＝2，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6，∴CE＝＝＝4，故选：C．3．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO＝PB，即可求出EO的长．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD，∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∵CD＝6，∴AB＝6，∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，∵E是PD的中点，O是BD的中点，∴EO是△DPB的中位线，∴EO＝PB＝1，故选：A．4．（2023•邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．5．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为24．【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，∴AD＝BC＝8，∵由EF是线段BC的垂直平分线，∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，∵CE＝5，∴OE＝＝＝3．∵CF∥BE，∴∠OCF＝∠OBE，在△OCF与△OBE中，，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴OE＝OF＝3，∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC＝BC•OE+BC•OF＝×8×3+×8×3＝12+12＝24．故答案为：24．6．（2023•西宁）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．（1）求证：△AEM≌△CFM；（2）若AC⊥EF，，求四边形AECF的周长．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）利用菱形的判定与性质得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AB＝DC（平行四边形的对边平行且相等），∴∠AEM＝∠CFM（两直线平行，内错角相等），∵BE＝DF，∴AB+BE＝CD+DF即AE＝CF，在△AEM和△CFM中∴△AEM≌△CFM（AAS）；（2）解：∵AE＝CFAE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），∴AE＝EC＝CF＝AF（菱形的四条边都相等），∴菱形AECF的周长＝．7．（2023•无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形．【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到AE＝CE，DE∥BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴AE＝CE，在△CEF与△AED中，，∴△CEF≌△AED（SAS）；（2）由（1）证得△CEF≌△AED，∴∠A＝∠FCE，∵点D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC，即DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．8．（2023•株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，则DE∥GF，DE＝GF，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的长即可．【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，∴DE∥GF，DE＝GF，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG＝＝＝，即线段BG的长度为．【中考模拟练】1．（2024•雁塔区校级二模）如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝4，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵A（﹣1，2），D（3，2），∴AD＝4＝BC，∵C（2，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），故选：D．2．（2024•韶关模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝4，BC＝3，则EC等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可得：BC＝AD＝DE＝6，又有CD＝AB＝8，可求EC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝3．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝3，∴EC＝CD﹣ED＝4﹣3＝1．故选：A．3．如图，已知点P，Q分别是四边形ABCD的边AB，CD上的点，有如下条件：①AP＝CQ；②∠APD＝∠CQB；③AB∥CD；④四边形ABCD是平行四边形．则根据已知及下列条件的组合不能得到四边形BQDP是平行四边形的是（）A．①和④ B．①和③ C．②和③ D．②和④【分析】根据平行四边形的判定进行证明即可．【解答】解：添加的条件为①和④，证明如下；∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，AB＝CD．∵AP＝CQ，∴AB﹣AP＝DC﹣CQ，即PB＝DQ．又PB∥DQ，∴四边形BQDP是平行四边形．故A不符合题意；添加条件为①和③，不能证明四边形BQDP是平行四边形；故B选项符合题意；添加的条件为②和③，证明如下：∵AB∥CD，∴∠CQB＝∠ABQ．∵∠APD＝∠CQB，∴∠ABQ＝∠APD，∴DP∥QB，∴四边形BQDP是平行四边形．故选项C不符合题意，添加的条件为②和④，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CQB＝∠ABQ，∵∠APD＝∠CQB．∴∠ABQ＝∠APD，∴DP∥QB，∴四边形BQDP是平行四边形．故选项D不符合题意，故选：B．4．（2024•河西区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝18，BC＝30．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为6．【分析】由题意可知EF是梯形ABCG的中位线．根据梯形中位线定理可知，，求出CG的长，再根据平行四边形的性质得AB＝CD＝18，即可求解最终结果．【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，BC＝30，∴Rt△BCF中，，∵EF∥AB，AB∥CG，∴F是边AG的中点．∴EF是梯形ABCG的中位线．∴（AB+CG），∵AB＝18，∴CG＝2EF﹣AB＝12．在▱ABCD中，CD＝AB＝18．DG＝CD﹣CG＝18﹣12＝6，故答案为：6．5．（2024•东安县一模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若△ABE的面积为6，则图中阴影部分的面积为10．【分析】由平行四边形的性质推出△FHD≌△EHB（ASA），得到FH＝EH，判定四边形ABEF是平行四边形，推出EF＝AB，AB∥EF，由△EGH∽△AGB，推出GE：AG＝EH：AB＝1：2，得到AG：AE＝2：3，因此S△ABG＝S△ABE＝×6＝4，由△EGH∽△AGB，推出＝＝，得到S△EGH＝1，因此S△FHI＝1，由△ABG≌△CDI（AAS），得到S△CDI＝S△ABG＝4，于是得到阴影的面积＝4×2+1×2＝10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴FD＝BE，AF＝BE，∵AD∥BC，∴∠FDH＝∠HBE，∠DFH＝∠BEH，∵FD＝EB，∴△FHD≌△EHB（ASA），∴FH＝EH，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF＝AB，AB∥EF，∵EH＝FE，∴EH＝AB，∵EH∥AB，∴△EGH∽△AGB，∴GE：AG＝EH：AB＝1：2，∴AG：AE＝2：3，∴S△ABG＝S△ABE＝×6＝4∵△EGH∽△AGB，∴＝＝，∴S△EGH＝1，∴S△FHI＝1，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠CDI，∵∠AGB＝∠EGH，∠CID＝∠FIH，∵AB＝CD，∴△ABG≌△CDI（AAS），∴S△CDI＝S△ABG＝4，∴阴影的面积＝4×2+1×2＝10．故答案为：10．6．（2024•浙江一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案分别取AO，CO的中点E，F作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是甲方案或乙方案，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；（2）若EF＝2AE，S△AED＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；（2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48．【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵O是对角线AC的中点，∴AO＝CO，∵E、F分别是AO、CO的中点，∴AE＝AO，CF＝CO，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）解：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴AO﹣AE＝CO﹣CF，∴OE＝OF，∴EF＝2OE，∵EF＝2AE，∴2OE＝2AE，∴OE＝AE＝CF＝OF，∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×6＝24，∴S▱ABCD＝2×24＝48，∴▱ABCD的面积是48．题型03中心对称与三角形中位线解题大招01：判断中心对称图形图象时，可以把试卷直接头尾颠倒看，还一样的那个就是中心对称图形；解题大招02：三角形的中位线的性质既可以提供线段间的数量关系，也可以提供线段的位置关系；数量关系可以用来求长度，位置关系常用来求角度；【中考真题练】1．（2023•菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．3．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（）A． B．7 C． D．8【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故选：C．4．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为5cm．【分析】由三角形中位线定理可直接求解．【解答】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，∴DE＝BC＝5cm，故答案为：5．5．（2023•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为．【分析】依据题意，连接AC交l于点O，由直线l将▱ABCD的面积平分，从而O为AC的中点，结合平行四边形的性质可得△AON≌△COM，进而AN＝CM，再由AN∥DM有＝，求出AN，故而可以得解．【解答】解：连接AC交l于点O．∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线，∴O为AC的中点，为平行四边形的中心．∴OA＝OC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠NAO＝∠MCO，＝．又∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM（ASA）．∴AN＝CM．∴＝．又ED＝2，AD＝4，AB＝3，∴＝．∴CM＝．故答案为：．6．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴，∵BC＝10，∴BD＝5，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，∵AD＝12，∴，∵E为AB的中点，D点为BC的中点，∴．【中考模拟练】1．（2024•扶沟县一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2．（2024•秦都区校级模拟）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（）A．24 B．16 C．18 D．12【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积．【解答】解：连接OC、OD，，∵点O是菱形ABCD的对称中心，∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点，∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6，∴AC＝8，BD＝12，∵EF为过点O的一条直线，∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积＝菱形ABCD的面积，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝48，∴四边形ABFE的面积＝24，∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABO＝×AO×BO＝12，∴阴影部分的面积＝12，故选：D．3．（2024•东平县校级一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，EF＝EC，根据三角形中位线定理得出BF＝2，即可得出结果．【解答】解：延长CE，交AB于点F．∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，在△EAF与△EAC中，，∴△EAF≌△EAC（ASA），∴AF＝AC，EF＝EC，又∵D是BC中点，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位线，∴BF＝2DE＝2．∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；故选：C．4．（2024•东明县一模）如图，△ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（）A． B． C． D．【分析】找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的即可判断．【解答】解：△ABC周长为1，∵每条中位线均为其对边的长度的，∴第2个三角形对应周长为；第3个三角形对应的周长为；第4个三角形对应的周长为；…以此类推，第n个三角形对应的周长为；∴第2024个三角形对应的周长为，即，故选：B．5．（2024•张店区一模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为．【分析】连接BE，取BE的中点H，连接MH、NH，根据勾股定理的逆定理得到∠C＝90°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，NH＝AE＝1，∠MHN＝90°，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：如图，连接BE，取BE的中点H，连接MH、NH，∵AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵M，N，H分别为EF，AB，BE的中点，∴MH为△BEF的中位线，NH为△ABE的中位线，∴MH＝BF＝1，MH∥BF，NH＝AE＝1，NH∥AE，∴∠EHM＝∠EBF，∠HNB＝∠A，∵∠EHN＝∠HNB+∠ABE＝∠A+∠ABE，∴∠MHN＝∠EHM+∠EHN＝∠EBF+∠A+∠ABE＝90°，∴MN＝＝，故答案为：．6．（2023•杭州二模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE＝AD，DF＝2．（1）求证：DE为∠ADF的角平分线；（2）求BD的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE，根据三角形中位线定理得到DF∥AE，根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到AE＝2DF＝4，求得AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，∴DF是△ACE的中位线，∴DF∥AE，∴∠AED＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴DE为∠ADF的角平分线；（2）解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4．考点二：矩形矩形是特殊平行四边形中比较重要的两个图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一。其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视。题型01矩形的性质 易错点：矩形性质中，两条对角线互相平分且相等解题大招：矩形的问题除了要思考矩形本身的性质外，综合问题也可以转化为直角三角形或等腰三角形。【中考真题练】1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（）A． B． C． D．【分析】先证△ABO是等边三角形，可得∠BAO＝60°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB，∴＝，故选：D．2．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．3．（2023•西藏）如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．4【分析】根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，根据勾股定理得到BD＝＝5，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，∴OD＝OC，∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∴BD＝＝5，过C作CF⊥BD于F，∴S△DCB＝CF•BD＝BC•CD，∴CF＝＝，连接OE，∵S△COD＝S△DOE+S△COE