(完整版)Kronecker积及其应用

(完整版)Kronecker积及其应用(完整版)Kronecker积及其应用(完整版)Kronecker积及其应用矩阵的Kronecker积及其应用陈蔚(集美大学理学院数学系2005届，厦门361021）[摘要］本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker积，通过对概念的引入，性质、定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker积在求解几类矩阵方程中的应用.［关键词]Kronecker积,特征值，拉直，矩阵方程，＋矩阵方程，－矩阵方程,矩阵微分方程0、引言众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数,如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积,但我们却可以求它们的Kronecker积。对于矩阵的Kronecker积问题，绝大多数人是陌生的。本文主要介绍了Kronecker积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采。文中所用到的符号均可从参考文献[1—11]中找到。矩阵的Kronecker积的概念设,，则称如下的分块矩阵为与的Kronecker积（也称为直积或张量积）。是一个块的分块矩阵,所以上式还可以简写为=。例1.1设，，求和.解=,=。这个例子表明,矩阵的Kronecker积与乘积一样不满足交换律，即≠。矩阵的Kronecker积的性质、定理及推论由定义1.1，容易证明性质2.1。性质2.2设与为同阶矩阵，则（1）。（2）.性质2.3()=（）.性质2.4设=,=，=，=,则（）()=。证（)（）=====.推论2。1(1）=。(2）=。上面两个式子只要等号右边有意义，则左边也有意义，而且两边相等.推论2.2若为阶矩阵，为阶矩阵，则=.利用性质2.1—2。4及推论2。1，可以得到以下常用到的性质。设是阶矩阵,是阶矩阵。性质2.5若、都可逆,则也可逆，且。证根据性质2.4，，，∴。推论2.3若均为方阵,且均可逆（=1，2,…）,则。证运用归纳法.当=2时，由性质2.5知:等式成立。设当=时,成立.则当=+1时，根据性质2。5，有：==，从而，等式成立.推论2。4.证由性质2.4、2。5知：=。性质2。6若、均为上（下）三角矩阵，则也是上（下)三角矩阵.性质2.7若、均为对角阵，则也是对角阵.性质2。8若、均为对称矩阵,则也是对称矩阵.定义2.1酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为酉矩阵，即满足：.性质2.9若、均为酉矩阵，则也为酉矩阵。定义2。2Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为Hermite矩阵，即满足：.性质2.10若、均为Hermite矩阵，则也为Hermite矩阵。性质2.11设=，=，则，.性质2。12设=,=，则rank()=rankrank.证设rank=，rank=.对矩阵，必存在可逆矩阵、,使得，其中=。对矩阵，必存在可逆矩阵、，使得，其中=.则由性质2。4知：==。由性质2。5知：、仍为可逆矩阵。∵矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变。∴rank（）=rank(）==rankrank.设是个线性无关的维列向量,是个线性无关的维列向量，则个维列向量(=1,2，…,；=1，2，…,）线性无关。反之，若向量组（=1,2，…,;=1，2，…，)线性无关，则和均线性无关。证令,=（）=，==，则有rank=，rank=。∵=，∴(）==.又∵是×矩阵，∴是列满秩矩阵，即的列向量组是线性无关的。反之，若列向量组是线性无关的，则是列满秩的，∴rank()==rankrank.下证rank=，rank=.假设rank＜,则rank必＞，矛盾.∴有rank=.同理,得:rank=.即、为列满秩的矩阵.∴和是线性无关的。性质2.13设为阶矩阵，为阶矩阵,则有相似于.三、矩阵的Kronecker积的特征值考虑由变量、组成的复系数多项式和阶矩阵其中,为阶矩阵，为阶矩阵。例3。1设，把写成：=，于是，.特别地，若=，则有。定理3。1设是阶矩阵的特征值，为的对应于的特征向量；是阶矩阵的特征值，是的对应于的特征向量，则个数2,…,为的特征值，是对应于的特征向量.证由知：。∴====.推论3.1的特征值是个值,对应的特征向量是.推论3。2的特征值是，其对应的特征向量是.推论3.3(推论3。2的推广)的特征值为，其对应的特征向量为.类似的，的特征值为，其对应的特征向量为。注意：对矩阵，我们将其称为矩阵和的Kronecker和（或称为直和）,记作.性质3.1设为阶矩阵,特征值为;为阶矩阵，特征值为，则.证一由推论3。1知:=.证二由性质2。4知:，且，又由性质2。13知:相似于,即，∴。性质3.2设为阶矩阵,特征值为；为阶矩阵，特征值,则trtrtr.证∵tr=trtr。对于矩阵的Kronecker积也存在幂的定义.定义3。1记,称为Kronecker积的幂.设=，=，则。矩阵的Kronecker积的应用定义4。1设=，记，令=，则称为矩阵A的列拉直（列展开)。定义4。2设=,记令，则称为矩阵的行拉直（行展开）.定理4.1设,则（1)。(2）。证(1)记,；，，则.而，∴.（2）设=,，则==，即.推论4.1+。推论4.2.推论4.3设为阶矩阵,为阶矩阵，,则（1）。(2）。（3)，。证（1）∴根据定理4。1知:同理可证。（2）仿（1）可证得.（3）∵,∴根据(1）、(2）知：==.同理可证.推论4。4设,则.接下来,我们就用矩阵Kronecker积和拉直概念相结合,看看它们在其它领域的运用。在系统控制等工程领域,经常遇到两类特殊的线性矩阵方程:＋和－。它们在系统稳定性、控制性问题中有着基本的作用,广泛的应用.而这两个方程又是型矩阵方程的特殊情况.4.1型矩阵方程一般的线性矩阵方程可表示为：（1）其中，为阶矩阵，为阶矩阵(=1,2，…，）均是已知矩阵，是未知矩阵.利用矩阵的Kronecker积和拉直，可以给出该线性矩阵方程的可解性及其解法.矩阵是矩阵方程（1）的解的充分必要条件为=vec()是该线性方程组的解。证对(1）两边同时列拉直,得：（）=。又根据定理4.1知:,∴该矩阵方程组与矩阵方程（1）等价,即解相同。定理4。3矩阵是矩阵方程（1）的解的充分必要条件为=是该线性方程组的解.例4。1求解矩阵方程.其中.解设,则根据定理4.2知:...则得：∴.推论4.5由定理4.2和线性方程组的可解性条件知：矩阵方程（1）有解的充分必要条件为:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即：rank(）=rank[vec（）]有唯一解的充分必要条件为（=）可逆.4。2＋矩阵方程矩阵方程＋中为阶矩阵，为阶矩阵，.下面运用矩阵的Kronecker积和拉直来给出该方程的求解过程及其解.首先，对方程的两边列拉直，得:vec(＋）=vec（).由推论4.3（3）知：有.（2）再由推论4。5知：方程有解的充分必要条件为:rank=rank。且方程有唯一解的充分必要条件为:矩阵可逆.类似的,若是对方程两边行拉直,则方程有解的充分必要条件为：rank=rank[］。注意到：即为矩阵和的Kronecker和，所以上式也可以写为：rank=rank[］且方程有唯一解的充分必要条件为：矩阵可逆。例4.2求解矩阵方程＋其中，。解设.∴，则。得：∴。定理4。4设是阶矩阵的特征值，是阶矩阵的特征值，则＋矩阵方程有唯一解的充分必要条件为：，即和—没有共同的特征值.证∵＋矩阵方程等价于线性方程组（2),则由推论3。2知：矩阵的特征值是.又∵＋矩阵方程有唯一解的充分必要条件为矩阵可逆，∴其特征值均非零，即。定理4。5设为阶矩阵，为阶矩阵，且、为稳定矩阵，即、的特征值均具有负实部,则＋矩阵方程有唯一解，且解可表示成:=。推广（1）设是阶矩阵的特征值，是阶矩阵的特征值，则齐次方程＋0有非零解的充分必要条件为：存在,使得=0。（2)设为阶矩阵,则齐次方程－一定有非零解。4。3－矩阵方程－矩阵方程常出现在系统稳定性研究中,对于它的求解我们同样可以运用矩阵的Kronecker积和拉直来解决.设为阶矩阵，为阶矩阵，.首先对方程两边进行列拉直，得：。则根据推论4。5知:－矩阵方程有解的充分必要条件为rank=rank[］,且有唯一解的充分必要条件为：矩阵可逆。定理4。6设是阶矩阵的特征值，是阶矩阵的特征值，则－矩阵方程有唯一解的充分必要条件为：。证明同定理4。4，此略.4。4矩阵微分方程运用Kronecker积性质和拉直定义，可将矩阵微分方程的求解转化为常系数齐次线性微分方程组初值问题的求解，从而变为我们所熟悉的解法.再进一步求出矩阵微分方程的初值问题.矩阵微分方程的解为其中，为阶矩阵，为阶矩阵，。证对矩阵微分方程的两边进行行拉直，得：，则问题就转化为求解常系数齐次线性微分方程组初值问题。再根据满足初始条件的矩阵微分方程解的定理及定理4.1（2）知:,∴矩阵微分方程初值问题的解为。例4.3求解矩阵微分方程的初值问题.解令=，=，=。∵A的特征值为1,2.其中，特征值1的基础解系为，特征值2的基础解系为，∴存在可逆矩阵=，使得：=。又∵是对角矩阵，∴。则由定理4.7知：==.致谢语本文在撰写过程中得到黄朝霞副教授的悉心指导，在此表示衷心的感谢！参考文献［1］程云鹏.《矩阵论》［M].西北工业大学出版社,1999［2］史荣昌.《矩阵分析》［M］。北京理工大学出版社，1996[3］戴华.《矩阵论》［M］.科学出版社,2001［4］陈公宁.《矩阵理论与应用》［M]。高等教育出版社,1990[5]董增福.《矩阵分析教程》［M].哈尔滨工业大学出版社,2003[6］李乔。《矩阵论八讲》［M]。上海科学技术出版社，1988[7］李俊杰.《矩阵分析》［M］.机械工业出版社,1995[8]张凯院。《矩阵论导教.导学。导考》[M]。西北工业大学出版社,2004[9］张凯院。《矩阵论典型例题解析及自测试题》[M］.西北工业大学出版社，2001［10]黄廷祝.《矩阵理论》[M］.高等教育出版社，2003［11]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.《高等代数》［M］。高等教育出版社,2001TheKroneckerProductOfAMatrixAndItsApplicationsChenwei（MathematicsDepartment，Scienceschool,JimeiUniversity，Xiamen361021)Abstract：Inthispaper,theKroneckerproductaboutmatrixtheoriesisintroduced。Bytheintroductionoftheconceptandthededuct