随机过程-均方微积分

章均方微积分§3.1随机变量序列的均方极限§3.2随机过程的均方连续性§3.3随机过程的均方导数与均方积分2021/5/91§3.1随机变量序列的均方极限回顾数列的极限：

实际上是指当无限增大时，与的距离无限趋近于0.问题：可否类似地给出随机变量序列的“极限”？答：可以！关键在于确定随机变量序列中任意与随机变量的“距离”.2021/5/92[定义]

设随机变量序列和随机变量的二阶矩有限，即，，若有

，则称均方收敛于，并称为的均方极限，记作

或其中l.i.m是英文Limitinmeansquare的缩写.

若以作为与的“距离”，可验证它满足线性空间中的距离定义．2021/5/934[例1]

设为随机变量序列，其中满足

，，验证均方收敛于0.证明故而，当2021/5/94问题：随机变量序列的均方收敛与大数定律

中所涉及的依概率收敛相比，两种收敛性孰强孰弱？答：均方收敛性强于依概率收敛！[例2]

设为随机变量序列，其中满足

，问：为何值时，均方收敛于0？解：故时，均方收敛于0.

2021/5/95均方极限的性质（1）若，则；6已知要证分析关系2021/5/96均方极限的性质（1）若，则；（2）若，

，则；7已知要证分析关系Cauchy-Schwartz不等式2021/5/97均方极限的性质（1）若，则；（2）若，

，则；（3）若，

，则对任意常数和，有；8已知要证分析关系2021/5/98均方极限的性质（1）若，则；（2）若，

，则；（3）若，

，则对任意常数和，有；（4）若数列

满足，是随机变量，则；

9已知要证分析关系2021/5/99均方极限的性质（1）若，则；（2）若，

，则；（3）若，

，则对任意常数和，有；（4）若数列

满足，是随机变量，则；

（5）若，，则

10——均方极限的唯一性2021/5/910§3.2随机过程的均方连续性[定义1]

设为二阶矩过程，随机变量

的二阶矩有限，若则称

在处均方收敛于，并称为

的在时刻的均方极限，记作.[定义2]

如二阶矩过程满足，对，若则称

在处均方连续；若

在每一点处都是均方连续的，则称在上均方连续.112021/5/911§3.3随机过程的均方导数与均方积分[定义1]

若随机过程在处的下述均方极限存在，则称此极限为

在处的均方导数，记为或

，此时亦称在处均方可导.一、均方导数1、均方导数的定义注：若在的每一点处均方可导，则称在上均方可导或可微，此时均方导数记为或

，是一个新的随机过程。122021/5/912[例]求随机过程的均方导数，其中是一随机变量.13解从形式上，易知对t求导后，下面验证：满足定义，所以时，2021/5/913（1）若在均方可导，则对任意常数和，有2、均方导数的性质（2）的均方导数的均值函数是14验证2021/5/914（1）若在均方可导，则对任意常数和，有2、均方导数的性质（2）的均方导数的均值函数是（3）的均方导数的相关函数是15（4）若X是随机变量，则2021/5/915163、均方导数与自（互）相关函数关系设实二阶矩过程均方可微，自相关函数为，则，，都存在，且有验证2021/5/916173、均方导数与自（互）相关函数关系设实二阶矩过程均方可微，自相关函数为，则，，都存在，且有2021/5/917[定义2]

设随机过程

，为任意普通函数：二、均方积分1、均方积分的定义18(1)分割T=[a,b]。将[a,b]分成n个子区间，分点为，而(2)作和式其中2021/5/918特别地，若时，即有(3)如果在