零点极点分析

章S域分析、极点与零点

决定系统的时域响应决定系统频率响应决定系统稳定性2021/5/91系统函数的定义系统零状态下，响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳2021/5/92系统函数的极零点分布2021/5/93§5.1由系统函数的极零点分布决定

时域特性

（1）时域特性——h(t)反变换第i个极点决定总特性Ki与零点分布有关2021/5/94（2）几种典型的极点分布——

(a)一阶极点在原点2021/5/95（2）几种典型的极点分布——

(b)一阶极点在负实轴2021/5/96（2）几种典型的极点分布——

(c)一阶极点在正实轴2021/5/97（2）几种典型的极点分布——

(d)一阶共轭极点在虚轴上2021/5/98（2）几种典型的极点分布——

(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点2021/5/99（2）几种典型的极点分布——

(f)共轭极点在左半平面2021/5/910（2）几种典型的极点分布——

(g)共轭极点在右半平面2021/5/911（3）有二重极点分布——

(a)在原点有二重极点2021/5/912（3）有二重极点分布——

(b)在负实轴上有二重极点2021/5/913（3）有二重极点分布——

(c)在虚轴上有二重极点2021/5/914（3）有二重极点分布——

(d)在左半平面有二重共轭极点2021/5/915一阶极点2021/5/916二重极点2021/5/917极点影响小结：极点落在左半平面—h(t)逞衰减趋势极点落在右半平面—h(t)逞增长趋势极点落在虚轴上只有一阶极点—h(t)等幅振荡，不能有重极点极点落在原点—h(t)等于u(t)2021/5/918（4）零点的影响零点移动到原点2021/5/919（4）零点的影响零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率幅度多了一个因子多了相移2021/5/920结论H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零点有关，即零点影响Ki,Kk系数E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s)无关用H(s)只能研究零状态响应，H(s)中零极点相消将使某固有频率丢失。2021/5/921激励E(s)的极点影响激励E(s)的极点也可能是复数增幅，在稳定系统的作 用下稳下来，或与系统 某零点相抵消等幅，稳态衰减趋势，暂态2021/5/922例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应。（1）求e(t)的拉氏变换2021/5/923（2）求系统函数H(s)（3）求系统完全响应的拉氏变换暂态稳态2021/5/924(5)求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。固定常数衰减因子2021/5/925（7）求第一周期的稳态响应2021/5/926（8）整个周期矩形信号的稳态响应暂态响应稳态响应完全响应2021/5/927§5.2由系统函数决定系统频率特性什么是系统频率响应？ 不同频率的正弦激励下系统的稳态响应一般为复数，可表示为下列两种形式：2021/5/928由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，该项最后衰减为零2021/5/929稳态响应有关的幅度该变相位偏移2021/5/930若换成变量

系统频率特性幅频特性相位特性2021/5/931用几何法求系统频率特性2021/5/932例：已知试求当

时的幅频和相位2021/5/933§5.3一阶系统和二阶非谐振系统的

S平面分析已知该系统的H(s)的极零点在S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线2021/5/934（1）一阶系统一零点，一在实轴的极点一在原点的零点，一在实轴的极点只有无穷远处的零点一在实轴的极点2021/5/935例：求一高阶系统的频率特性+U1—+U2—CRMN-1/RC2021/5/9362021/5/937例：求一阶低通滤波器的频率特性RC+U1_+U2_M没有零点2021/5/938幅频特性相位特性2021/5/939（2）二阶非谐振系统的S平面分析只考虑单极点使系统逞低通特性只考虑一极点和一零点使系统逞高通特性中间状态是个常数低通高通总体是个带通2021/5/940例：2021/5/941高通低通2021/5/942

较小时起作用

逐渐增加高通2021/5/943

较大时起主要作用低通特性

逐渐增加2021/5/944带通2021/5/945例：若已知H(s)零极点分布如图(a)--(h)试粗略给出它们的2021/5/9462021/5/9472021/5/948§5.4二阶谐振系统的S域分析谐振频率衰减阻尼因子频率变化影响高品质因素2021/5/949（一）谐振频率衰减因素

谐振频率

2021/5/950(二)阻尼衰减因子的影响若不变，则共轭极点总是落在以原点为圆心，以为半径的左半圆弧上等幅震荡衰减震荡2021/5/951

临界不起振实数根本不起振2021/5/952（三）频率变化影响当频率变化时在S平面沿着虚轴移动，将代入Z(s)，则为系统频率特性，幅度、相位均沿变化。2021/5/953讨论的前提下，不变

而变化的情况2021/5/9542021/5/955斜边乘高直角边之积2021/5/956

显著增长，而增长缓慢些2021/5/957(四)高品质因素的影响品质因素定义为包括了两方面的影响高，若谐振频率一定，则小，损耗小，容易震荡，频率特性尖锐低，则相反2021/5/958例如：当时的情况

当在附近时2021/5/9592021/5/960边带带宽

高带窄2021/5/961例如：高阶系统（极零点靠近虚轴）无损电路，即很小2021/5/9622021/5/963有非常靠近虚轴的零极点2021/5/964§5.5全通网络和最小相移网络2021/5/965§5.5全通网络和最小相移网络系统位于极点左半平面，零点位于右半平面，且零点极点对于轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统，或全通网络。全通，即幅频特性为常数相移肯定不是零2021/5/966全通网络的零极点分布从对称零点极点之和为180度逐渐减少最后为-360度2021/5/9672021/5/968例：一些对称性强的网络可能是全通网络2021/5/969最小相移网络零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值较大零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值较小定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的网络函数称为“最小相移网络”非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的极联2021/5/970相互抵消乘2021/5/971§5.6系统稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性2021/5/972稳定性的三种情况稳定系统：H(s)全部极点落在左半平面（除虚轴外）不稳定系统：H(s)有极点在右半平面，或虚轴有二阶以上重极点，不收敛。边界稳定系统：H(s)有一阶极点，等幅震荡2021/5/973稳定系统对零极点的要求

在右半平面不能有极点，全在左半面在虚轴上只能有一阶极点分子方次最多比分母方次高一次，即：转移函数策动点函数中分母的的因子只能是的形式，其中都是正值，乘得的系数也是正值。2021/5/974

从最高次幂到最低次幂无缺项，b0

可以为零。要么全部缺偶次项要么全部缺奇次项的性质也使用于2021/5/9752.罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是实常数。H(s)的分母多项式为2021/5/976H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。

A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai＞0。显然，若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。2021/5/977

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则

(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。2021/5/978

若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：2021/5/979

罗斯判据(罗斯准则)

指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系统是不稳定系统。2021/5/980

综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。2021/5/981例4.8-2

已知三个线性连续系统的系统函数分别为判断三个系统是否为稳定系统。2021/5/982

解H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为2021/5/983根据式(4.8-20)和式(4.8-21)，得因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。2021/5/984

例4.8-3

图4.8-4所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为图4.8-4例4.8-3图K取何值时系统为稳定系统。2021/5/985解令加法器的输出为X(s)，则有由上式得2021/5/986根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得2021/5/987由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为根据R-H准则，若和-K＞0，则系统稳定。根据以上条件，当K＜0时系统为稳定系统。2021/5/9884.8.5拉普拉斯变换与傅里叶变换

若f(t)为因果信号，则f(t)的傅里叶变换F(jω)和单边拉普拉斯变换F(s)分别为

由于s=σ+jω，因此，若能使σ=Re［s］等于零，则F(s)就等于F(jω)。但是，能否使σ等于零，这取决于F(s)的收敛域。

F(s)的收敛域为Re［s］＞σ0,σ0为实数，称为收敛坐标。σ0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。2021/5/9891.σ0＜0

如果σ0＜0，则F(s)的收敛域包含jω轴(虚轴)，F(s)在jω轴上收敛。若令σ=0，即令s=jω，则F(s)存在。这时，f(t)的傅里叶变换存在，并且令s=jω，则F(s)等于F(jω)。即例如，，其单边拉普拉斯变换为

的傅里叶变换为2021/5/9902.σ0=0

若收敛坐标σ0=0，F(s)的收敛域为Re［s］＞0，F(s)的收敛域不包含jω轴，故F(s)在jω轴上不收敛。若令s=jω，则F(s)不等于F(jω)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为m个一阶极点jβi(i=1,2,…,m)。将F(s)展开为部分分式，表示为式中，FN(s)表示左半平面极点对应的分式。令FN(s)的原函数为fN(t)，则F(s)的原函数为2021/5/991

的傅里叶变换为由于是的原函数，并且的极点在左半面，故2021/5/992根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于ε(t)的傅里叶变换为 ，因此得2021/5/9933.σ0＞0

若σ0＞0，则F(s)的收敛域也不包含jω轴，收敛域的边界在右半平面内。因此