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专题特训抛物线与几何图形的最值问题类型一

抛物线与线段的最值问题1.（2023·武威改编）如图①，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点O，A，与直线y＝－x交于点O，B（4，－4），点C（0，－4）在y轴上.（第1题）1234（1）

求抛物线对应的函数表达式.解：（1）

∵

抛物线y＝－x2＋bx过点B（4，－4），∴

－16＋4b＝－4，解得b＝3.∴

抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋3x.（2）

如图②，点P从点B出发，沿线段BO的方向匀速运动，到点O时停止运动，另有一点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值.

12342.（2022·常德）如图，抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2.（1）

求抛物线对应的函数表达式.解：（1）

∵

抛物线过点O（0，0），且它的对称轴为直线x＝2，∴

抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）.设抛物线对应的函数表达式为y＝ax（x－4）（a≠0）.把A（5，5）代入，得5a＝5，解得a＝1.∴

y＝x（x－4）＝x2－4x.∴

抛物线对应的函数表达式为y＝x2－4x.（第2题）1234（2）

若B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点B的坐标.

（第2题）1234（3）

在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求点P的坐标以及PA－PB的最大值.

（第2题）1234类型二

抛物线与面积的最值问题3.（2022·广东）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A（1，0），B两点（点B在点A的左侧），AB＝4，连接AC，BC，P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q，连接PC.求：（1）

抛物线对应的函数表达式.

（第3题）1234（2）

△CPQ面积的最大值及此时点P的坐标.

（第3题）12344.（2023·荆州）已知y关于x的函数y＝（a－2）x2＋（a＋1）x＋b.（1）

若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是

2或0或－⁠.（2）

如图，若函数的图象为抛物线，与x轴交于点A（－2，0），B（4，0），与y轴交于点C，并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E.设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.

（第4题）1234①

当P为抛物线的顶点时，求△PBC的面积.

（第4题答案）（第4题答案）12

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