2022年北京前门中学高一数学文期末试卷含解析

2022年北京前门中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4参考答案：C【考点】不等式比较大小．【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选C．2.定义函数（定义域），若存在常数C，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为C．已知，，则函数在上的均值为…………（

）A．

B．

C．

D．10参考答案：C3.下列各式中，值为的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

4.已知正方体的表面积为24，则该正方体的体积为（）A．8 B．27 C．64 D．125参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由正方体的表面积为24，求出正方体的棱长，由此能求出正方体的体积．【解答】解：设正方体的棱长为a．∵正方体的表面积为24，∴6a2=24，解得a=2，∴该正方体的体积为V=23=8．故选：A．5.已知平面向量，且，则（

）A.10 B. C.5 D.参考答案：D由题意得，，且，则，即，故选D.6.原点到直线的距离为（

）A．1

B．

C．2

D．参考答案：D7.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数在(0,+∞)上为单调函数，且，则（

）A．4

B．5

C.6

D．7参考答案：D9.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q=（

）A.－1 B.1 C.－2 D.2参考答案：A【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值．【详解】∵，∴，又，∴．故选A．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．

10.定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x?A∩B}，则(A*B)*A等于()A．A∩B

B．A∪B C．A D．B参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a=7，b=5，c=3，则A=

．参考答案：120°【考点】HR：余弦定理．【分析】在△ABC中，由a=7，b=5，c=3，利用余弦定理可得cosA=的值，从而得到A的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=7，b=5，c=3，由余弦定理可得cosA==﹣，∴A=120°，故答案为120°．12.若函数y=2x+1+m的图象不经过第二象限，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣2]【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数y=2x+1+m是由指数函数y=2x平移而来的，求出y=2x+1与y轴的交点，根据条件作出其图象，由图象来解．【解答】解：指数函数y=2x+1过点（0，2），函数是增函数，函数y=2x+1+m过定点（0，2+m）如图所示，图象不过第二象限则，2+m≤0∴m≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]【点评】本题主要考查基本函数的图象变换，通过变换了解原函数与新函数的图象和性质．13.已知是一次函数，满足,则________.参考答案：14.已知函数（）的图像恒过定点A，若点A也在函数的图像上，则=

。参考答案：15.函数的定义域为

参考答案：{x|x<1}

略16.已知，,,则四点中一定共线的三点是________．参考答案：略17.的值域是_______；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数.⑴若,解方程;⑵若,判断的单调区间并证明;⑶若存在实数,使,求实数的取值范围.参考答案：⑴若,由，即，解得……………3分⑵若,则，设，且，

1

当时,有，，,在上是增函数;

2

当时,有，，,在上是减函数

的单调增区间是，单调减区间是

……8分⑶设,由,得,且存在,使得,即令,若,则函数的对称轴是由已知得:方程在上有实数解,

,或

由不等式得:

由不等式组得:

所以,实数的取值范围是

…14分

19.(本小题满分12分)已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性.(1)最小正周期4;(2)函数g（x）是偶函数．解：..............................2分∴f（x）的最小正周期T==4..................................1分当时，f（x）取得最小值-2；..............................1分

当时，f（x）取得最大值2．..............................1分

（2）g（x）是偶函数．理由如下：........................................1分

由（1）知,又g（x）∴g（x）=.....................3..分∵g（-x）==g（x），..................................2分

∴函数g（x）是偶函数．...........................................1分

【思路点拨】(1)利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求f（x）的最小正周期；（2）求出的表达式，通过函数的奇偶性的定义，直接证明即可．20.如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积和表面积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）根据几何体的结构特征与它的正（主）视图和侧（左）视图可得其侧视图．（2）由题意可得：所求多面体体积V=V长方体﹣V正三棱锥，该多面体的体积和表面积为长方体的表面积为减去截去的表面积【解答】解：（1）该多面体的俯视图如下；（2）：所求多面体体积V=V长方体﹣V正三棱锥=4×4×4﹣×（×2×2）×2=长方体的表面积为128，截去的表面积为6，等边三角形面积为几何体的表面积为122+．21.如图所示，已知点A（1，0），D（﹣1，0），点B，C在单位圆O上，且∠BOC=．（Ⅰ）若点B（，），求cos∠AOC的值；（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由三角函数的定义，写出cos∠AOB与sin∠AOB的值，再计算cos∠AOC的值；（Ⅱ）根据等腰三角形的知识，求出|AB|、|CD|的值，再写出函数y的解析式，求出y的最大值即可．解：（Ⅰ）∵B（，），∴cos∠AOB=，sin∠AOB=；∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）=cos∠AOBcos∠BOC﹣sin∠AOBsin∠BOC=×﹣×=；…（Ⅱ）等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin=2sin，等腰三角形COD中，求得|CD|=2|OC|sin=2sin（﹣）；…∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|=3+2sin+2sin（﹣）=3+2sin（+）；…由0＜x＜得，当+=，即x=时，y取得最大值5．…22.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+x+m?2x﹣1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）﹣x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m?2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立．∴2kx=log4（4﹣x+1）﹣log4（4x+1）===﹣x，∴k=﹣

…（3分）（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，则方程log4（4x+1）﹣x=x+a即方程log4（4x+1）﹣x=a无解．令g（x）=log4（4x+1）﹣x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．…（4分