河南省专升本考试高等数学模拟题2020年(5)-真题(含答案与解析)-交互

河南省专升本考试高等数学模拟题2020年(5)(总分150,做题时间150分钟)一、单项选择题1.

函数的定义域为______A.[0，2]B.[0，1)C.(0，1)D.(-1，1)

A

B

C

D

分值:2答案:B对于arcsin(1-x)，|1-x|≤1，0≤x≤2，

对于

故所求定义域为[0，1)，应选B．2.

下列各对函数互为反函数的是______

A．y=sinx，y=cosx

B．y=ex，y=e-x

C．y=tanx，y=cotx

D．

A

B

C

D

分值:2答案:Dy=sinx的反函数为y=arcsinx，y=ex的反函数为y=lnx，y=tanx的反函数为y=arctanx，所以A，B，C都错，故选D．3.

函数在定义域内是______A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

A

B

C

D

分值:2答案:A因为

f(-x)+f(x)=0，即，(-x)=-f(x)，

所以f(x)为奇函数，故应选A．4.

当x→0时，x2是etanx-ex的______A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小

A

B

C

D

分值:2答案:B

故当x→0时，x2是etnax-ex的低阶无穷小，故选B．5.

极限则a的值是______

A．1

B．

C．2

D．-2

A

B

C

D

分值:2答案:B6.

______

A．

B．

C．0

D．∞

A

B

C

D

分值:2答案:A因为当x→∞时，

所以故应选A．7.

设则x=0是f(x)的______A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点

A

B

C

D

分值:2答案:D因为均不存在．所以x=0为第二类间断点，故应选D．8.

极限的值是______**B.-1**D.不存在

A

B

C

D

分值:2答案:A故应选A．9.

已知f(x)=sinx，则______********

A

B

C

D

分值:2答案:C

故应选C．10.

由方程xy+lny=1确定的隐函数x=x(y)的微分dx=______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:C两边微分，得即(xy+1)dy+y2dx=0，

所以故应选C．11.

设y=ln(1+x)，则y(n)=______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:A12.

若点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则______**"(x0)=0**"(x0)不存在**"(x0)=0或f"(x0)不存在**'(x0)=0

A

B

C

D

分值:2答案:C因为拐点存在于二阶导数为零或二阶导数不存在的点处．故应选C。13.

若点(x0，f(x0))是连续函数f(x)的极值点，则f'(x)______A.等于零B.不存在C.等于零或不存在D.以上都不对

A

B

C

D

分值:2答案:C因为在曲线的极值点处有f'(x0)=0或f'(x0)不存在，故应选C．14.

若f(x)在(a，b)内二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(a，b)内______A.单调增加且是凸的B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的

A

B

C

D

分值:2答案:A根据函数的单调性与曲线的凹凸性判定可知，当f'(x)＞0时，f(x)在(a，b)内单调增加，当f"(x)＜0时，曲线f(x)在(a，b)内是凸的，故应选A．15.

方程x3+3x+c=0(其中c为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有______**个**个**个**个

A

B

C

D

分值:2答案:D设f(x)=x3+3x+c，由于f'(x)=3x2+3＞0，故f(x)在(0，1)内单调递增，在区间(0，1)内f(x)与x轴最多有一个交点，即方程x3+3x+c=0在(0，1)内最多有一个实根，故应选D．16.

已知f(x)的一个原函数为则______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:C故应选C．17.

设f(x)在(0，+∞)上连续，且则f(2016)=______******D.无法求出

A

B

C

D

分值:2答案:B两边对x求导得f(x2)·2x=2x，所以f(x2)=1，从而f(2016)=1，故选B．18.

已知f(x)为区间[-2，2]上的奇函数，则______****C.-1D.不确定

A

B

C

D

分值:2答案:A由于f(x)为区间[-2，2]上的奇函数，cos2x为偶函数，故f(x)cos2x为[-2，2]上的奇函数，由定积分的对称性质，可得故应选A．19.

下列广义积分收敛的是______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:D根据广义积分收敛的定义进行计算验证，

只有是收敛的澈应选D．20.

设由抛物线y=ax2(a＞0)与x轴及直线x=3围成平面图形的面积为9，则a=______

A．

B．3

C．1

D．

A

B

C

D

分值:2答案:C平面图形的面积故a=1，所以选C．21.

微分方程y'=e2x-y的通解为______**=C**=e2x+C**=e2x+C**=Cxe-x

A

B

C

D

分值:2答案:C由y'=e2x-y得eydy=e2xdx，

从而故应选C．22.

二阶线性非齐次方程y"-2y'+5y=2sin2x的特解为y*应设为______***=Acos2x***=Acos2x+Bsin2x***=x(Acos2x+Bsin2x)***=Axcos2x

A

B

C

D

分值:2答案:B因为对应齐次方程的特征方程为r2-2r+5=0，

解得特征根为r1，2=1±2i，从而±2i不是特征根，

所以特解y*=Acos2x+Bsin2x，故应选B．23.

点(2，3，-1)到平面2x-3y+z-6=0的距离为______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:D由点到平面的距离公式知

故应选D．24.

设z=ln(x2+y2)，则______

A．dx+dy

B．2xdx+2ydy

C．2dx+2dy

D．

A

B

C

D

分值:2答案:A因为所以故应选A．25.

二元函数z=x2-(y-1)2______A.有极小值B.有极大值C.无极值D.可能有极值

A

B

C

D

分值:2答案:C由得唯一驻点为(0，1)，

即A=2，B=0，C=-2.因此B2-AC=4＞0，

所以(0，1)不是极值点．故应选C．26.

二重积分(其中D：x2+y2≤1)等于______

A．2

B．0

C．7

D．

A

B

C

D

分值:2答案:C根据二重积分的对称性及几何意义可知，

故应选C．27.

设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后为______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:D积分区域

又可表示为

所以交换积分次序后为故应选D．28.

设L为三个顶点分别为(0，0)、(1，0)和(0，1)的三角形边界，L的方向为逆时针方向，则______

A．

B．

C．0

D．

A

B

C

D

分值:2答案:C设Q(x，y)=x2y-3xy2，P(x，y)=xy2-y3，

则

设三角形区域为D，

故应选C．29.

下列级数中，发散的是______

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

分值:2答案:A选项B条件收敛，选项C和D均绝对收敛，只有选项A是发散的．故应选A．30.

幂级数的收敛区间为______A.(0，1)B.(-∞，+∞)C.(-1，1)D.(-1，0)

A

B

C

D

分值:2答案:C因为

所以收敛区间为(-1，1)，故应选C．二、填空题1.

设则f(x)=______．

分值:2答案:因

所以2.

若在x=0处连续，则a=______．

分值:2答案:1由于f(x)在x=0处连续，故a=f(0)=1，即a=1.3.

极限

分值:2答案:4.

函数f(x)=x4-2x2+5在区间上的最大值为______．

分值:2答案:5f'(x)=4x3-4x，令f'(x)=0得x=0，-1，1，

计算

从而f(x)在上的最大值为5.5.

分值:2答案:6.

分值:2答案:7.

若函数z=z(x，y)由方程ez-xyz=0确定，则

分值:2答案:令F(x，y，z)=ez-xyz，

则Fx=-yz，Fz=ez-xy，

所以8.

曲线在xOy面的投影曲线方程为______．

分值:2答案:由方程组消去z得x2+y2+x+y=1.

所以所求投影曲线方程为9.

以y=e2x，y=xe2x为特解的二阶常系数线性齐次方程为______．

分值:2答案:y"-4y'+4y=0以y=e2x与y=xe2x为特解，

说明二阶常系数线性齐次方程有两个相等特征根r1=r2=2，

由此可知特征方程为r2-4r+4=0，所以微分方程为y"-4y'+4y=0.10.

级数收敛时，p的范围是______．

分值:2答案:p＞0根据交错级数的莱布尼茨判别法可以确定p＞0.三、计算题1.

求极限

分值:5答案:

2.

已知

分值:5答案:

3.

分值:5答案:

4.

分值:5答案:

5.

求过点(3，1，-2)及直线的平面方程．

分值:5答案:

由已知直线上的点(4，-3，0)在平面上，

故向量{4-3，-3-1，0-(-2)}={1，-4，2}与平面平行，

平面的一个法向量为

所以平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0，

即8x-9y-22z-59=0.6.

设z=f(exsiny，ln(x+y))，其中f(u，v)为可微函数，求

分值:5答案:

设u=exsiny，v=ln(x+y)，则z=f(u，v)，

7.

计算其中D是由y=x和y2=x所围成的区域．

分值:5答案:

积分区域如图阴影所示．

选定先对x积分，后对y积分的次序．

8.

求微分方程y'+ycosx=e-sinx满足初始条件y(0)=-1的特解．

分值:5答案:

微分方程的通解为

又y(0)=-1，即-1=e-sin0(0+C)，得C=-1，

因此所求特解为y=e-sinx(x-1)．9.

将函数展开成(x-1)的幂级数．

分值:5答案:

10.

求幂级数的收敛半径和收敛域．

分值:5答案:

当即|x-1|＜3，亦即-2＜x＜4时，级数收敛，收敛半径为3；

当x=-2时，

x=4时，

故原级数的收敛域为(-2，4)．四、应用题1.

用薄板(不计厚度)制成一个容积为V的无盖长方体水箱，问如何设计尺寸，才能使所用的材料最省?

分值:7答案:

设水箱长、宽、高各为x、y、z，表面积为S，则

S=xy+2yz+2xz，

由V=xyz，解得于是

由实际问题的最小值一定存在，所以

当时，S取最小值，这时

故当水箱做成底是边长为的正方形，高为的长方体时，所用材料最省．一曲线通过点(e2，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求：2.

该曲线的方程；

分值:3.5答案:

设曲线方程为y=f(x)，则有

所以f(x)=ln|x|+C．把点(e2，3)代入得C=1，曲线为x＞0的一支．

从而所求曲线的方程为y=lnx+1