北航《数值分析》习题

北航《数值分析》习题习题一

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

1.（1）5，，；

（2）2，，；

（3）4，，；

（4）5，，；

（5）1，，；

（6）2，，；

（7）6，，

2.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？

2.；

；

3.设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。

（1）；

（2）；

（3）

3.（1）；

（2）；（3）

4.计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？

（1）；

（2）；

（3）

（4）

4.第（3）个结果最好。

5.序列满足递推关系式

若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

5.不稳定。从计算到时，误差约为

6.求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。

6.，

7.某生产部门生产的一件产品需用七个零件，而这七个零件的质量取决于零件参数的标定值，它们的参数允许有一定的误差：

参数取值容许范围

参数取值容许范围x1[0.075，0.125]x5[1.125，1.875]x2[0.225，0.375]x6[12，20]x3[0.075，0.125]x7[0.5625，0.935]`4[0.075，0.125]

若每一零件的标定值取做区间中点，在生产过程中每一零件的参数都有可能产生误差。由此将零件分成不同的等级：A，B，C三等，等级由标定值的相对误差限表示，A等为

1%，B等为5%，C等为10%。试确定三个等级的零件分别满足的区间。

8.将一个八位二进制数(10111101)2转换成十进制数时，可以用公式：

（1）用多项式求值的秦九韶方法求C的值；

（2）写出将任意一个八位二进制数(b1b2b3b4b5b6b7b8)2转化为十进制数的算法。

9.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

（1）；

（2）

（3）；

（4）

9.（1）；

（2）；

（3）；

（4）

10.设，求证：

（1）

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。习题二

1.判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。

（1）；

（2）

（3）；

（4）1.（1），，；

（2）；

（3），，；

（4）为根。

2.方程在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。

2.6

3.下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。

（1）；

（2）3.（1）能；

（2）不能，

4.求方程的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。

（1）

（2）

（3）

（4）4.（1.4,1.5）；

（1）收敛；

（2）收敛；

（3）发散；

（4）发散；

1.465573

5.考察方程有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差5.－1.989761；0.3758122

6.设，应用牛顿迭代法分别求与之根，从而导出求的两种迭代格式，并求，取。

7.用牛顿法求下列方程之根，。

（1）；

（2）

8.用割线法求第7题中各方程之根，。

9.试绘出下列算法的描述

（1）简化牛顿迭代法；

（2）双点割线法

10.用牛顿法求出的方程根的迭代结果见表2-6，试估计所求根的重数。

表2-6kXkxk－xk－100.75

10.7527010.0027020.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.000889；；

11.用牛顿法解下列方程组，要求精确到小数点后两位。

（1）

在附近求解；

（2）

在内求解

（1）0.7390851

12.对第11题中的两个方程组，分别通过消元化为含一个未知量的方程求根问题，然后用牛顿法求解，要求精确到小数点后两位。

13.天文学家用开普勒方程

是常数）来确定行星在其轨道上的位置，求解这一方程的方法可以用简单迭代法，即任取一个整，利用下面的迭代公式

，（k=0,1,2,）计算出数列

设对于给定的数数，a，开普勒方程的根为，试证明

（1）；

（2）

14.梯子问题。在一幢楼房后面是一个大花园，花园中紧靠楼房有一个温室，温室伸入花园2米，高2米。温室正上方是楼房的窗台，清洁工打扫窗台周围时用一架梯子越过温室，梯子一头靠在楼房的墙上，另一头放在花园地上。为了使梯子不要压靠温室，需要选定梯子在花园地面上的放置点

（1）试写出反映梯子长度L与放置点到温室的距离u的函数的表达式L（u）；

（2）设梯子长度为6米，试推导梯子放置点到温室的距离u满足的方程（一元四次方程）。

习题三

1.设系数矩阵A的元素，经过高斯顺序消去法一步以A化为

阶方阵）证明：

（1）若A为对称矩阵，则A2也对称；

（2）若A严格对角占优，则A2也严格对角占优；

（3）若A为对称的严格对角占优阵，则列主元素法就是高斯顺序消去法。

2.用列主元素法解下列方程组(1)；

(2)；

(3)

对(1)

(2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。

2.（1）；

（2）；

（3）

3.用追赶法解下列方程组

（1）

（2）

3.（1）(1.2,1.4,1.6,0.8)T；

（2）(－1.5,2,1,1)T

4.求第2题及第3题中系数矩阵A的LU分解，并用此分解法解对应的线性方程组。

4.对第2题中的系数矩阵

（1）；（2）

对第3题中的系数矩阵

（1）

（2）

5.求下列矩阵的逆矩阵

（1）

（2）

6.分别用平方根和改进平方根法求解方程组

7.给定，求及。

7.

8，，5；6，，8

8.证明满足范数定义。

9.证明

10.给定方程组Ax=b，其中

其准确解为

（1）对近似解分别计算残差与及误差向量；

（2）求A的条件数cond；

（3）说明x1比x2精度高但残差反而大的原因。

习题四

1.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯—塞德尔迭代法时收敛？

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（1）（2）（3）（4）雅可比迭代法收敛发散收敛发散高斯一赛德尔法收敛发散收敛发散

2.试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值）

2.

雅可比迭代法：

塞德尔迭代法：

3.用雅可比迭代法解下列方程组。

（1）

（2）取，并判别此迭代是否收敛？

3（1）范数，故雅可比迭代法收敛

（2）范数，由可判定雅可比法收敛。

4.用塞德尔迭代法解方程组。

取，并判别此迭代是否收敛？

4.方程组系数矩阵对角占优，因此塞德尔迭代法收敛

与3题（1）迭代结果相比较，这里收敛速度快。

5.若用Jacobi迭代法求解方程组

讨论实数a与收敛性的关系。

6.设有方程组

（1）分别写出Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法及SOR法的计算公式及迭代矩阵。

（2）对任意初值，各迭代是否收敛？说明理由。

7.分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组

取，问迭代是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证务分量误差绝对值小于？

8.写出第1题中方程组（1）的SOR迭代格式。

9.解方程组的迭代法收敛的充分必要条件为迭代矩阵B的所有特征根的模均小于1。利用这一结论证明：当方程组

中的主元a11，a22均不为零时，用雅可比迭代公式

产生的向量序列收敛的充分必要条件为。

10.设中a11，a22均不为零，试写出解该方程组的赛德尔迭代法的迭代公式以及迭代矩阵MS。

11.证明对称矩阵

当时为正定矩阵，且只有当时，用Jacobi迭代法求解方程组Ax=b才收敛。

12.设有方程组

讨论用Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性。适当交换方程的次序，结果怎样？

13.试解释为什么G-S迭代阵U至少有一个特征根为零。习题五

1.已知，求的二次值多项式。

1.

2.令求的一次插值多项式，并估计插值误差。

2.；，介于x和0，1决定的区间内；

，当时。

3.给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717363.

0.54667，0.000470；0.54714，0.000029

4.据资料记载，某地某年间隔30天的日出日落时间如下

5月1日5月31日6月30日日出5:515:175:10日落19:0419:3819:50

试计算出表中三天的日照时间长（以分钟计），构造拉格朗日二次插值函数并求极值点。推算从5月1日到6月30日这些天中，哪一天的日照最长。

5.猪肉产量与价格的关系是很直接的。据统计某城市1993年猪肉产量为28万吨，1995年猪肉产量为27.28万吨，1997年猪肉产量为27.021万吨。这三年中猪肉价格依次为6.80元/公斤、7.09元/公斤、7.19元/公斤。市政府调整政策后，1999年猪肉产量有希望达到27.5万吨。试推测1999年猪肉价格为多少？

6.学习曲线问题。某纺织厂招收一批青年女工学习1511型织布机的操作。观察她们的学习过程发现。当累计织完25匹布以后，平均每人每织一匹布需要用16小时；当累计织完64匹布以后，平均每人每织一匹布需要用10小时；而一个熟练的纺织女工织一匹布仅需要8小时。设一个人累计织完x匹布以后的时刻，每织一匹布需要用的时间为y，根据统计分析，学习曲线为如下形式的函数

试根据观察记录的数据确定上式中的常数和。并根据学习曲线估计；一个新手需织完多少匹布以后，才能成为一名技术熟练的纺织女工。

7.设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。

7.

8.试证明对于次数的多项式，其次拉格朗日插值多项式就是它自身。

9.试证明线性插值的余项估计式。

10.设在区间[a,b]内有二阶连续导数，且。求证

11.已知，求及的值。

11.

1，0

12.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。x1.6151.6341.7021.8281.921f(x)2.414502.464592.652713.030353.34066显示答案，

13.试证明差商的性质1。

14.已知函数的如下函数值表，解答下列问题

（1）试列出相应的差分表；

（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。x0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.00向前插值公式

向后插值公式

15.给定数据表：y0.1250.2500.3750.5000.6250.750f(x)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228用三次牛顿插值公式计算（0.1581）及

16.用上题数据计算

（1）取用二次牛顿前插公式

（2）取用二次牛顿后插公式

比较二者计算结果是否相同？为什么？

17.下表为概率积分的数据表，试问：

（1）时，积分

（2）为何值时，积分？X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.5116683（1）；

（2）

18.利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。

0.3376489

19.依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

表10

表11x01

x012y01

y0－23y¢－39

y¢01

20.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。

21.在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？

22.将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。

23.已知的下列函数表。求其三次样条插值函数，并用求和的近似值。

表4-13x－1013

x013y－11331

y000y¢4

28

习题六

1.曾任英特尔公司董事长的摩尔先生早在1965年时，就观察到一件很有趣的现象：集成电路上可容纳的零件数量，每隔一年半左右就会增长一倍，性能也提升一倍。因而发表论文，提出了大大有名的摩尔（Moore’sLaw）定律，并预测未来这种增长仍会延续下去。下面数据中，第二行数据为晶片上晶体数目在不同年代与1959年时数目比较的倍数。这些数据是推出摩尔定律的依据：年代19591962196319641965增加倍数13456试从表中数据出发，推导线性拟合的函数表达式。

2.给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。x－1.00－0.75－0.50－0.2500.250.500.751.00y－0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836，

3.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。

（1）

（2）（1）；

（2），其中c为任意常数

4.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。x1925313844Y19.032.349.073.397.8

5.给定数据如下表，用最小二乘法求形如的经验公式。x2.22.73.54.14.8y6560535046

6.在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之间的关系为，试用最小二乘法确定参数a、s。t(秒)1248163264W(克)4.224.023.854.593.443.022.59，

7.试构造点集上的离散正交多项式系。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。

，，

8.利用勒证德多项式求下列函数的最小二次曲线拟合

（1）在区间[2，6]上

（2）

9.求使为最小。

10.现测量长度和米、米，为了提高测量的可靠性，又测量到米。试合理地决定长度和的值。

，。习题七

1.证明：如果求积公式（6-3）对函数f(x)和g(x)准确成立，则它对于为常数）亦准确成立（由此即可证明定理1）。

2.验证中矩形公式（6-2）具有一次代数精度，辛甫生公式（6-9）具有三次代数精度。

3.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（1），

，代数精度为3；

（2），

，代数精度为3；

（3），或，，代数精度2；

（4），代数精度为3。

4.用辛甫生公式求积分的值，并估计误差。

，

5.已给函数f(x)的数据（6-12），试分别用复化梯形公式、复化辛甫生公式和柯特斯公式计算积分的值。表6-12x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675

6.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分：

（1），8等分积分区间；

（2），4等分积分区间；

（3），8等分积分区间；

（4），6等分积分区间。

（1），

；

（2）

；

（3），

；

（4），

7.用复化梯形公式求积分，问将积分区间[a,b]分成多少等分，才能保证误差不超过e（不计舍入误差）？

，

8.导出下列三种矩形公式的项

（1）

；

（2）

；

（3）

提示：利用泰勒公式。

（1）；（2）；（3）

9.用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过。

（1）

；

（2）

；

（1），

10.根据等式

以及当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求的近似值。

3.141580072

11.分别用下列方法计算积分，并比较结果精度（积分准确值。

（1）

复化梯形法，n=16；

（2）

复化辛甫生法，n=8；

（3）

龙贝格算法，求至R2；

（4）

三点高斯—勒让德公式；

（5）

五点高斯—勒让德公式。

（1）1.099768；

（2）1.09862；

（3）1.098612；

（4）1.098039；

（5）1.09860

12.试问至少用几点的高斯—勒让德公式可以求出下面积分的准确值（不计舍入误差）？

选择一个这样的公式求出积分值，并与理论准确值比较。

四点高斯一勒让德公式

13.试证明高斯公式（6-33）的求积系数为

其中为以为节点的拉格朗日插值函数

14.证明任何次数不超过n的多项式P(x)可以表示成勒让德多项式的线性组合，即。

15.试导出复化中矩形公式（即复化一点高斯—勒让德公式）

式中h=(b-a)/n，并利用它求下面积分值（取n=8）。

16.试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。

，，

17.试确定x1,x2,A1,A2,使求积公式（1）（2）（3）为Gauss型求积公式。

18.判别下列求积公式中，哪个是Gauss型求积公式。

（1）

（2）

（3）

19.用三点及五点Gauss-Legendre求积公式计算积分

20.利用Gauss-Chebyshev求积公式计算积分

其中