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22五月20241第十节闭区间上连续函数的性质
第一章22五月20242一、有界性与最大值最小值定理注意:
若函数在开区间上连续,结论不一定成立.即:设则使或在闭区间内有间断
点
,22五月20243例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,
22五月20244二、零点定理和介值定理定理2(零点定理
)至少有一点且使(证明略)定理3(介值定理
)设且则对A
与B
之间的任一数C,一点使至少有(可利用零点定理证明)22五月20245一个根.证:
显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则例1证明方程（补充题）22五月20246上连续,且恒为正,在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:例2设（补充题）22五月20247内容小结在上达到最大值与最小值;3.当时,使必存在上有界;在上可取最大与最小值之间的任何值.在22五月20248思考与练习1.
任给一张面积为A
的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:22五月20249至少有一个不超过4的正根.证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然2.2
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