湖南省衡阳市衡东县草市镇坪中学高一数学文上学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市衡东县草市镇坪中学高一数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形(如图)，A、B、C是展开图上的三点，若回复到正方体盒子中，∠ABC的大小是（

）.A、90°

B、45°

C60°

D、30°

参考答案：C2.已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（）A．（1，5） B． C． D．参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数g（x）=f（x）﹣loga|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=loga|x|的图象，结合图象可得loga5≤1或loga5＞﹣1，由此求得a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣loga|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=loga|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=loga|x|是偶函数，当x＞0时，y=logax，则当x＜0时，y=loga（﹣x），做出y=loga|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=loga|x|至少有6个交点，则loga5≤1或loga5＞﹣1，解得a≥5，或0＜a＜，故选：B．3.已知函数，在区间内存在使，则的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.

参考答案：

5.两数与的等比中项是（

）

A.1 B.－1 C.±1 D.参考答案：C试题分析：设两数的等比中项为，等比中项为-1或1考点：等比中项6.

l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A.6 B.1 C. D.3参考答案：D【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设等差数列{an}的前n项和为Sn若,，则(

)A.45 B.54 C.72 D.81参考答案：B【分析】利用等差数列前项和的性质可求【详解】因为为等差数列，所以为等差数列，所以即，所以，故选B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.8.若直线与两坐标轴的交点分别为A、B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B略9.下列集合中与{2，3}是同一集合的是（）A.{{2},{3}} B.{(2,3)} C.{(3,2)} D.{3,2}参考答案：D【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】与{2，3}是同一集合的是{3，2}．故选：D．【点睛】本题考查同一集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.直线y=5与y=﹣1在区间上截曲线所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（）A． B．m≤3，n=2 C． D．m＞3，n=2参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】曲线的性质知，在一个周期上截直线y=5与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，可知两条直线关于y=n对称，由此对称性可求出n，又截得的弦长不为0，故可得振幅大于3．【解答】解：由题意可得的图象关于直线y=n对称，因为曲线被直线y=5与y=﹣1所得的弦长相等，所以直线y=5与直线y=﹣1关于y=n对称．所以n==2，又因为弦长相等且不为0，所以振幅m＞=3．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，（0＜a＜1）的单调递减区间是．参考答案：（6，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】求出原函数的定义域，分析内函数t=x2﹣5x﹣6的单调性，由于外层函数y=logat为减函数，则内层函数的增区间即为复合函数的减区间．【解答】解：令t=x2﹣5x﹣6，由x2﹣5x﹣6＞0，得x＜﹣1或x＞6．∴函数f（x）=log0.5（x2﹣2x）的定义域为（﹣1，0）∪（6，+∞），当x∈（6，+∞）时，内层函数t=x2﹣5x﹣6为增函数，而外层函数y=logat为减函数，∴函数f（x）=loga（x2﹣5x﹣6）的单调递减区间是（6，+∞），故答案为（6，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的单调区间，训练了复合函数的单调区间的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．12.已知，则

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．参考答案：013.已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，转化为解不等式求最值．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x?（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时即x=2，y=1时取等号）则x+2y的最小值是4．故答案为：4．14.在中，a，b，c分别是的对边，

，b=1，面积为，则=_________.参考答案：15.若函数y＝loga（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围为_____.参考答案：【分析】确定函数单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.【详解】，故函数单调递减，函数y＝loga（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递.故，且满足，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.16.已知||=||=1，|+|=1，则|﹣|=

．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】法一、由已知求出，然后求出，开方后得答案；法二、由题意画出图形，然后求解直角三角形得答案．【解答】解：法一、由||=||=1，|+|=1，得，即，∴，则|﹣|=；法二、由题意画出图形如图，设，则图中A、B两点的距离即为|﹣|．连接AB后解直角三角形可得|AB|=．故答案为：．17. 如图，正六边形的中心为，若，则

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（用来表示）．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.参考答案：（1）见解析；（2），。【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果。【详解】(1)由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，。(2)由(1)可知，，，所以，。【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。19.某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28.(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)

(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．参考答案：(1)依题意x1＋x2＝5，∴x2＝5－x1，∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28＝－2x12－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28＝－3x12＋12x1＋2(0≤x1≤5)，…………3分∴收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3＝－3(x1－2)2＋9≤9，当且仅当x1＝2时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．…6分(2)收益y＝R－(x1＋x2)＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－(x1＋x2)＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15，当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．…12分

20.已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．（I）求实数a的取值集合A；（Ⅱ）若a∈A，且函数g（x）=1g[ax2+（a+3）x+4]的值域为R，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的值域．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（I）当a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）不为单调函数，即﹣1+a＞a2﹣7a+14，综合讨论结果可得答案；（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，讨论，a=0，a＞0，判别式不小于0，解不等式，再与A求交集，即可得到所求范围．【解答】解：（I）当﹣＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当﹣≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞a2﹣7a+14，解得：3＜a＜5，综上所述：实数a的取值集合是A=（﹣∞，2）∪（3，5）；（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，当a=0时，z=3x+4取得一切的正数；当a＞0，判别式△≥0，即为（a+3）2﹣16a≥0，解得a≥9或0＜a≤1．综上可得，a的范围是，即为0≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解答的关键．21.已知函数为奇函数.（1）求a的值；（2）判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性，并证明.参考答案：（1）因为函数是定义在区间上的奇函数，所以，所以．……3分（2）