专题 锐角三角形及其应用 中考数学

34/34专题锐角三角形及其应用目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一解直角三角形题型01锐角三角函数与几何图形综合类型一锐角三角函数与等腰三角形综合类型二锐角三角函数与等边三角形综合类型三锐角三角函数与直角三角形综合类型四锐角三角函数与矩形综合类型五锐角三角函数与菱形综合类型六锐角三角函数与正方形综合类型七锐角三角函数与圆综合类型八锐角三角函数与圆及四边形综合类型九锐角三角函数与圆及三角形综合题型02锐角三角函数与函数综合类型一锐角三角函数与反比例函数综合类型二锐角三角函数与二次函数综合题型0312345模型【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点二解直角三角形的实际应用题型01仰角俯角问题题型02方位角问题题型03坡度坡角问题题型04与不易测量相关问题题型05与可调节的滑动悬杆问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】1/135

考点要求命题预测解直角三角形中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主.其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主，考点所占分值有3-12分，还是需要考生对这块考点多加重视.解直角三角形的实际应用考点一解直角三角形题型01锐角三角函数与几何图形综合类型一锐角三角函数与等腰三角形综合1．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连接CE，则CEA．32 B．3 C．152 2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝13，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为3．（2020·甘肃天水·中考真题）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为_________．

理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+23（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF=EG=EH.在边FG，GH上分别取中点M,N，连接MN.若∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．

类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________(用含α的式子表示)类型二锐角三角函数与等边三角形综合1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A3,0，B0,4，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为；点D

2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．

(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．3．（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos

类型三锐角三角函数与直角三角形综合1．（2023·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为（

）

A．3 B．32 C．2 D．2．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么CE=．3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF//AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为．②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα=43，AB＝5时，若△CDE类型四锐角三角函数与矩形综合1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（

A．163 B．83+4 C．42．（2023·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．

(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB=123．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=2AB，小天用该游戏1

折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．类型五锐角三角函数与菱形综合1．（2023·山东济南·中考真题）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于．

2．（2023·广东广州·中考真题）如图，AC是菱形ABCD的对角线．

(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接BD，CE；①求证：△ABD∽△ACE；②若tan∠BAC=133．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如图，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S

（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG

类型六锐角三角函数与正方形综合1．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为5:1，则sin∠DGE等于（

A．1010 B．55 C．3102．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB=90°AC<BC，四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC

（1）若cos∠ABC=34，△ABC（2）若PQBQ=19153．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE，EF，CF．

(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当∠FEC=90°时，求证：△AEF∽②如图2，当tan∠FCE=23(2)如图3，延长CF，DA交于点G，当GE=DE,sin∠FCE=1类型七锐角三角函数与圆综合1．（2023·山东·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．

(1)求证：BC=DE；(2)P是AE上一点，AC=6,BF=2，求tan∠BPC(3)在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM=90°．

(1)求证：MH⋅CH=AH⋅BH．(2)求证：AC=(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=35类型八锐角三角函数与圆及四边形综合1．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB

类型九锐角三角函数与圆及三角形综合1．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．

(1)如图1，当AB=6，BP⏜的长为π时，求BC(2)如图2，当AQAB=34，(3)如图3，当sin∠BAQ=64，BC=CD时，连接BP，PQ2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：AF⋅AC=AE⋅AH；(3)若sin∠DEA=453．（2022·山东德州·中考真题）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．(1)AB与⊙O的位置关系为_______；(2)求证：AC是⊙O的切线；(3)如图2，连接DM，DM=4，∠A=96°，求⊙O的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，4．（2023·浙江·中考真题）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C,D是AB的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．(1)求证：AD∥HC(2)若OGGC=2，求(3)连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5①若OF=52，求②若AH=10，求△ANB③若HF⋅AB=88，求△BHC的面积．题型02锐角三角函数与函数综合类型一锐角三角函数与反比例函数综合1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y=2x(x>0)的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①sin∠DOC=cos∠BOC；②OE=BE；③A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，AB⊥y轴于点B，tan

(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数y=12x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接（1）求OB的长和反比例函数的解析式；（2）将△AOB绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．类型二锐角三角函数与二次函数综合1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12x2+bx−4的图像与x

(1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．2．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=−14x2+bx+c图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+53x+c经过点3,1，与

(1)求抛物线的解析式．(2)直线y=23x−4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD于点F，连接BE．当BE=DF(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M．若OE=BN，tan∠BME=34题型0312345模型【12345模型简介】对于角α和角β，若满足α+β=45°，tanα=12，则一定tanβ=13已知△ABC为等腰直角三角形，点D为线段AB的中点，设∠BCD=α，∠ACD=β,且tanα=12，则tanβ=【证明过程】过点D作DE⊥AC设AB=BC=4,则AD=2，AC=42,DE=AE=2∴CE=32∴∵α+β=45°，∴tan（α+β）=1,∠CDE=α+45°，∠BDE=β+45°（三角形内角和为180°）∴tan（α+45°）=3，tan（β+45°）=2在BC上取一点F，使DF=FC,设BF=x，则DF=4-x在Rt△BDF中，由勾股定理解得x=1.5，∴tan2α=43，tan2β=1．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（

）A．23 B．56 C．62．（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=13，则点C

3．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（

）A．2 B．74 C．324．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则

A．10 B．11 C．23 5．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则证明：设BE=k，∵tanα=12易证△AEB≌△EFC∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=若α+β=45°时，当tanα=12同理：若α+β=45°时，当tanα=13根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x−9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N

(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM、(3)求直线AE的解析式．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B2）三边之间的关系：a2+3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°4）边角之间的关系：sinA=∠A所对的边斜边=ac，sinB=∠BcosA=∠A所邻的边斜边tanA=∠A所对的边邻边解直角三角形常见类型及方法：已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c,a)①②③∠B=90°－∠A两直角边(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一边和一锐角斜边和一锐角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角边和一锐角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角边和一锐角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1．（2023·重庆·模拟预测）如图，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，分别交⊙O于点A和点B，连接AB，C为⊙O上一点，连接AC，BC．若cosC=35，AP=6，则ABA．365 B．7 C．325 2．（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB将纸片沿OB折叠，使A落在A'的位置，OB=5,tan∠BOC=A．−35,45 B．−43．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=12，cosA=35，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，则sinA．71050 B．1050 C．94．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，∠CDA=∠CAB．若BC=4，tanB=3A．94 B．125 C．155．（2024·重庆·一模）如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，连接OC，E为边AB上一点，CF⊥DE于点F，若OF=2，CF=5，则AE的长为()A．23 B．34−2 C．3 二、填空题6．（2024·山西吕梁·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，点F在DA的延长线上，CF与AB相交于点G，若AD=2，tan∠FCE=23，则AG7．（2024·江苏常州·模拟预测）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知tanB=13，∠C=45°

8．（2024·山西临汾·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点，点F在BA边的延长线上，且CE=AF，连接EF交AD边于点G，HN垂直平分EF，分别交AD，EF，AB于点H，M，N．若CE=2，则MH的长为．三、解答题9．（2024·贵州安顺·一模）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点F，交BC于点E，过点F作∠AFD的角平分线交AD于点G，tan∠DBC=(1)求证：AE⋅BC=AB⋅BD；(2)求∠AFG；(3)若DC=4，求四边形EFDC的面积．10．（2024·山东济南·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE=∠ABC．(1)求证：∠CAB=2∠EAB；(2)若BF=1，sin∠AFE=4511．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，点M是线段BC上一动点，直线PM交y轴于点N．若tan∠PNC=23，求PM(3)另有抛物线y'的顶点E在线段BC上，y'经过点C，将抛物线y'平移得到新的抛物线yn，点E，C平移后的对应点分别是点F，G，连接GE．若GE∥x轴，点F在x轴上，yn经过点C12．（2023·河南平顶山·一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC，CD上．连接AM，AN，MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：线段DM，BN与MN的关系：______．（请直接写出结论，不必说明理由）（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N分别在边DC，BC上，连接AM，AN，MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M，N分别在边DC，BC上，连接AM，AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是______．

考点二解直角三角形的实际应用题型01仰角俯角问题1．（2023·内蒙古·中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM=243米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα=2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：

2．（2023·湖南·中考真题）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为

(1)求点A离地面的高度AO；(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s，参考数据：33．（2023·山东·中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）

4．（2023·湖南永州·中考真题）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732题型02方位角问题1．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

2．（2023·海南·中考真题）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．

(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；(3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．3．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：2≈1.41，6

题型03坡度坡角问题1．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，BE=20m，DE=2m

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测出坡比为8:15（即tan

2．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1:0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'．求堤坝高及山高DE．（sin26°35'

题型04与不易测量相关问题1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE=30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE=45°．

(1)求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）(2)若从D点继续沿DE的方向走(123+12)米到达P点．求2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵sinA=a∴c=asin∴a(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究asinA，bsin(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．3．（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，设A，B，C，D在同一平面内，求A题型05与可调节的滑动悬杆问题1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC=2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是（

A．a+bcosa B．a+bsinα2．（2022·江苏盐城·中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75测量物体的高度的常见模型：1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.2）测量底部可以到达的物体高度模型需测量数据数量关系原理测量仪高m，水平距离n，倾斜角αtanh=m+n•矩形的性质与直角三角形的边角关系水平距离n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h3）测量底部不可到达的物体的高度1．（2023·云南·模拟预测）2023年4月20日，云南大学迎来百年校庆，当天晚间，千架无人机在云南大学上空变换着“云南大学校徽”等图案（如图1），书写着百年学府的深厚积淀．小李为记录这次表演，携带无人机航拍，如图2，某一时刻小李在水平地面点A处测得无人机位置点B的仰角为60°，无人机从点B水平飞至点C处，小李在点A处测得点C的仰角为45°，水平地面AF∥BC，若BC=4米，则此时无人机距离水平地面的距离为（

A．6+23米 B．8米 C．2+23米 D．2．（2023·山东泰安·一模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m，请求出点O到BC的距离（

）m．（参考数据sin73.7°≈2425

A．140m B．340m C．360m D．480m3．（2023·河南南阳·一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为（

）（参考数据：sin37°≈35，cosA．27海里 B．50海里 C．75海里 D．1534．（2023·广东深圳·二模）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE=CF=1.65米，AC=28米，则树BD的高度是（

）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米5．（2022·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1:43．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：sin59°≈0.86，cosA．158米 B．161米 C．159米 D．160米6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）春节期间，白居寺长江大桥凭借其独特的造型、科幻的氛围、“星际穿越”的视感吸引众多游客纷纷前来打卡拍照．某校数学社团的同学们欲测量白居寺长江大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下地面MB上架设测角仪CM（测角仪垂直于地面放置），此时测得白居寺长江大桥桥塔最高点A的仰角∠ACE=35°，然后将测角仪沿MB方向移动100.5米到达点N处，并测出点A的仰角∠ADE=45°，测角仪高度CM=DN=1.6米．（点M，N，

(1)白居寺长江大桥桥塔的高度AB约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70(2)如图3，在（1）问条件下，小明在某大楼Q处测得白居寺长江大桥桥塔最高点A的仰角∠AQG=18°，最低点B的俯角∠BQG=53°，则小明所在地Q处与AB的水平距离约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3，sin37°≈0.6，7．（2023·贵州贵阳·二模）为加快城乡发展，建设美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山、汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=100千米，∠A=45°,∠B=30°．(1)求C地到公路AB的距离；(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？（结果精确到1米）（参考数据：2≈1.4,8．（2023·河南濮阳·一模）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC的长为30cm，悬杆CD=40cm，如图2所示，当∠BCD=70°，∠ABC=135°时，求灯泡悬挂点D到地面的距离DF的长．（结果精确到

专题锐角三角形及其应用解析目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一解直角三角形题型01锐角三角函数与几何图形综合类型一锐角三角函数与等腰三角形综合类型二锐角三角函数与等边三角形综合类型三锐角三角函数与直角三角形综合类型四锐角三角函数与矩形综合类型五锐角三角函数与菱形综合类型六锐角三角函数与正方形综合类型七锐角三角函数与圆综合类型八锐角三角函数与圆及四边形综合类型九锐角三角函数与圆及三角形综合题型02锐角三角函数与函数综合类型一锐角三角函数与反比例函数综合类型二锐角三角函数与二次函数综合题型0312345模型【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点二解直角三角形的实际应用题型01仰角俯角问题题型02方位角问题题型03坡度坡角问题题型04与不易测量相关问题题型05与可调节的滑动悬杆问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】

考点要求命题预测解直角三角形中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主.其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主，考点所占分值有3-12分，还是需要考生对这块考点多加重视.解直角三角形的实际应用考点一解直角三角形题型01锐角三角函数与几何图形综合类型一锐角三角函数与等腰三角形综合1．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连接CE，则CEA．32 B．3 C．152 【答案】D【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出AD=BD=CD=12BC，在结合题意可得∠BAD=∠B=∠ADE，即证明AB//DE，从而得出∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，即易证△ADE≅△CDE(SAS)，得出AE=CE．再由等腰三角形的性质可知AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，即证明△ABD∼△ADE，从而可间接推出CEAD=BDAB【详解】∵在Rt△ABC中，点D是边BC的中点，∴AD=BD=CD=1∴∠BAD=∠B=∠ADE，∴AB//DE．∴∠BAD=∠B=∠ADE=∠CDE，∴在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDE∴△ADE≅△CDE(SAS)，∴AE=CE，∵△ADE为等腰三角形，∴AE=CE=DE，∠BAD=∠B=∠ADE=∠DAE，∴△ABD∼△ADE，∴DEBD=AD∵cosB=∴ABBD∴CEAD故选D．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝13，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为【答案】93【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝3BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH＝DH，∵cos30°＝BHBP＝3∴BH＝32BP∴BD＝3BP，∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝12BC∵cos∠ABC＝13∴BGAB∴AB＝9，∴BD最大值为：3BP＝93．故答案为：93．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=3BP是解题的关键．3．（2020·甘肃天水·中考真题）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为_________．

理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+23（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF=EG=EH.在边FG，GH上分别取中点M,N，连接MN.若∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．

类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________(用含α的式子表示)【答案】性质探究：3:1(或3)；理解运用：（1）3；（2）MN=103；类比拓展：2sinα:1(【分析】性质探究作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性质得出AC=2CD，AD=3CD，得出AB=2AD=23CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC=2CD，AD=3CD，由等腰三角形的周长得出4CD+23CD=4+23，解得：CD=1，得出AB=23，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°，由直角三角形的性质得出PE=12EF=10，PF=3PE=103，得出FH=2PF=203，证明MN是△类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD，∠BAD=12【详解】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：

则∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC，∠ACB=120°，∴AD=BD，∠A=∠B=30°，∴AC=2CD，AD=3CD，∴AB=2AD=23CD，∴ABAC故答案为：3:1(或3理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC=2CD，AD=3CD，∵AC+BC+AB=4+23，∴4CD+23CD=4+23，解得：CD=1，∴AB=23，∴△ABC的面积=12AB×CD=12×23×1=故答案为：3（2）①证明：∵EF=EG=EH，∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：

则PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，∵EF=EH，∴∠EFH=30°，∴PE=12∴PF=3PE=103，∴FH=2PF=203，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN=12FH=103类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=12∵cosα=∴BD=AB×sinα，∴BC=2BD=2AB×sinα，∴BCAB故答案为：2sinα（或2sin【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、解直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．类型二锐角三角函数与等边三角形综合1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A3,0，B0,4，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为；点D

【答案】−2,0−1−23,2+【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据tan∠ABC=2，设BE=x,CE=2x，则BC=5x，根据勾股定理可得求出AB=OA2+OB2=5，用等面积法推出OC=52x−3，最后在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC2+O【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵tan∠ABC=2∴CEBE设BE=x,CE=2x，根据勾股定理可得：BC=B∵A3,0，B∴OA=3,OB=4，在Rt△AOB中，根据勾股定理可得：AB=∵S△ABC∴12×5×2x=1在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：O∴52解得：x1∴OC=5∴C

∵B0,4，C∴OB=4,OC=2，∴BC设Dm,n则BD2=∵△BCD为等边三角形，∴BC即m2整理得m2②−①得：4m+8n=12，则将m=3−2n代入①得：3−2n2解得：n1=2+3当n=2+3时，m=3−2n=−1−23，即当n=2−3时，m=3−2n=23−1故答案为：−2,0；−1−23,2+3【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握等边三角形三边相等，以及勾股定理．2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．

(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)CF=1(2)①成立，理由见解析②4【分析】（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，易得BD=CG，证明△DGF≌△ECF，得到CF=FG=1（2）①过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，易得BD=CG，证明△DGF≌△ECF，得到CF=FG=12CG，即可得出结论；②过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，根据已知条件推出tan∠AEH=tan∠MDN，得到AHEH=MNDN，证明【详解】（1）解：CF=1∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC于点G，

∴∠ADG=∠ABC=60°,∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AB−AD=AC−AG，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECFAAS∴CF=FG=1∴CF=1（2）①成立，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，

∴∠ADG=∠ABC=60°,∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AD−AB=AG−AC，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECFAAS∴CF=FG=1∴CF=1②过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，

由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECFAAS，CF=FG=∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=4,BH=CH=1∴AH=A∵∠AEB=∠DEB，EH=EH,∠AHE=∠MHE=90°∴△AEH≌△MEH，∴MH=AH=23∴AM=2AH=43∵△DGF≌△ECFAAS∴∠CEF=∠MDN，DG=CE，∴∠AEH=∠MDN，∴tan∠AEH=∴AHEH设MN=y,DG=CE=x，则：EH=CE+CH=2+x，DN=1∴23∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴BCDG=AH联立①②可得：x=42经检验x=42∴DG=CE=42+4，DN=22∴AN=26∴S△ACE∵S△ACE∴S△CEF∴四边形BDFC的面积为S==43【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．3．（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos

【答案】（1）①见解析；②AD=DF+BD，理由见解析；（2）2AD=DF+BD，理由见解析；（3）【分析】（1）①证明：∠ABE=∠CBD，再证明△ABE≅△CBDSAS即可；②由DF和DC关于AD对称，可得DF=DC．证明AE=DF（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E，得∠BED=90°，证明∠ADF=∠ADC=45°，∠EBD=45°．可得DE=22BD，证明AB=22BC，∠ABE=∠CBD，可得（3）由BD=3CD=3DF，可得2AD=DF+3DF=4DF，结合AD=42，求解DF=DC=2，BD=6，如图，过点A作AH⊥BD于点H．可得HF=12BF=2【详解】（1）①证明：∵△ABC和△BDE∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABC−∠CBE=∠EBD−∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≅△CBDSAS∴AE=CD．

②AD=DF+BD．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，∴DF=DC．∵AE=CD，∴AE=DF．∴AD=AE+DE=DF+BD．（2）2AD=DF+BD如图，过点B作BE⊥AD于点E，得∠BED=90°．

∵DF和DC关于AD对称，∴DF=DC，∠ADF=∠ADC．∵CD⊥BD，∴∠ADF=∠ADC=45°，∴∠EBD=45°．∴DE=2∵△ABC是直角三角形，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ABC−∠CBE=∠EBD−∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，∴sin∠ABE=∴AEAB∴AE⋅BC=CD⋅AB，∴AE=2∴AD=AE+DE=22CD+（3）∵BD=3CD=3DF，∴2AD=DF+3DF=4DF∵AD=42∴DF=DC=2，∴BD=6．如图，过点A作AH⊥BD于点H．

∵AB=AC=AF，∴HF=1BC=B∴AF=AC=2∴cos∠AFB=【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．类型三锐角三角函数与直角三角形综合1．（2023·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为（

）

A．3 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出OB=33，BE=3，继而OA=OB2【详解】解：∵在菱形CDEF中，CD=DE=EF=CF=2，DE∥BC，∴∠CBO=∠DEO=90°，又∵∠BOC=30°，∴OD=DEsin∠BOC∴OC=CD+OD=2+4=6，，∴BC=OC·sin∠BOC=6×1∴BE=OB−OE=3∵AB=BC=3，∴在Rt△OBA中，OA=∵EH⊥AB，∴sin∠OBA=∴EH=EB·sin故选C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出OC、OB、OA是解题关键．2．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么CE=．【答案】3【分析】根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵D为AB中点，∴在直角三角形中有AD=CD=BD，∴∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCE，∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°∴∠A=30°，∴在Rt△ACB中，BC=1，则有AC=BC∴CE=AC=3故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF//AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．（1）当AM与线段BC相交时，①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为．②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．（2）当tanα=43，AB＝5时，若△CDE【答案】（1）①AE＝CF+CE；②EC=2(AE−CF)，理由见解析；（2）5【分析】（1）①结论：AE＝CF+CE．如图1中，作CT//AF交AM于T．想办法证明AT＝②结论：EC＝2（AE﹣CF）．过点C作CQ⊥AE（2）分两种情形：如图3－1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明FK＝CD，可得结论．如图3－2中，当∠ECD＝【详解】解：（1）①结论：AE＝理由：如图1中，作CT//AF交AM于T．∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∵AF//CT，CF//AT，∴四边形AFCT是平行四边形，∴CF＝∵∠ADC＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴AD∴AD∵∠ADB＝∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD＝∵CT//AF，∴∠CTE＝∴△CTE是等边三角形，∴EC＝∴AE＝故答案为：AE＝②如图2中，结论：EC=2理由：过点C作CQ⊥AE于Q．∵CF//AM，∴∠CFA+∠MAN＝∵∠MAN＝∴∠CFA＝∵∠CQA＝∴四边形AFCQ是矩形，∴CF＝∵∠ADC＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴AD∴AD∵∠ADB＝∴△ADB∽△CDE，∴∠ABD＝∵∠CQE＝∴CE＝∴AE﹣∴EC=2（2）如图3－1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝∴AJ＝3，∵AC＝∴CJ=AC−AJ=5−3=2，∴BC＝∵1∴AD＝∴CD＝∵FK⊥AD，∴∠CDE＝∴CD//FK，∵CF//DK，∴四边形CDKF是平行四边形，∵∠FKD＝∴四边形CDKF是矩形，∴FK＝∵tan∴FK∴AK＝∴AF＝如图3－2中，当∠ECD＝∠DAB＝∵CF//AM，∴∠AKF＝在Rt△ACK中，tan∠CAK＝∴CK＝4，∵∠MAN＝∴∠CAN＝∴∠CAB+∠BAF＝90°，∴∠AFK＝∴tan∴FK＝∴AF＝综上所述，满足条件的AF的值为554或【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．类型四锐角三角函数与矩形综合1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（

A．163 B．83+4 C．4【答案】D【分析】根据矩形的性质得出OA=OB，即可求证△ABO为等边三角形，进而得出点E为OB中点，根据中位线定理得出BC=2EF=43，易得∠CBD=30°，求出CD=BC⋅【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∵∠ABD=60°，∴△ABO为等边三角形，∵AE⊥BD，∴点E为OB中点，∵F是OC的中点，若EF=23∴BC=2EF=43∵∠ABD=60°，∴∠CBD=30°，∴CD=BC⋅tan∴矩形ABCD的周长=2BC+CD故选：D．【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．2．（2023·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．

(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB=12【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AF=EC，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE=2，然后再解直角三角形求出EC【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：由（1）知四边形AECF是矩形，∴∠AEC=∠AEB=90°，∵AE=BE，AB=2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE=2又∵tan∠ACB=∴2EC∴EC=22∴BC=BE+EC=2【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=2AB，小天用该游戏1

折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)120°，理由见解析【分析】（1）由折叠的性质可得AF⊥BD，根据题意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF，再设AB=a，然后表示出AD、BD，再由锐角三角函数求出BF即可；（2）由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH，BF=HF，从而可得出∠GBH=∠BHF，进而得到BD∥HF，∠DGH=∠GHF，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在RtΔGFH中求出∠GHF【详解】（1）证明：由折叠的性质可得AF⊥BD，∴∠AGB=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BAG=∠ADB=∠GBF，∵AD=2设AB=a，则AD=2a，∴sin即BGAB∴BGa解得BG=3根据勾股定理可得AG=6cos∠GBF=即BGBF∴33解得BF=2∵BC=AD=2∴BF=1∴点F为BC的中点．（2）解：∠AGH=120°，理由如下：连接HF，如图：由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH，BF=HF，∴∠GBH=∠FBH，∠FBH=∠FHB，∴∠GBH=∠BHF，∴BD∥HF，∴∠DGH=∠GHF，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，∴∠AGD=90°，设AB=a，则AD=2a=BC，∴BG=3∴GF=6在RtΔGFH中，tan∴∠GHF=30°，∴∠DGH=30°，∴∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．类型五锐角三角函数与菱形综合1．（2023·山东济南·中考真题）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于．

【答案】2【分析】过点A作AQ⊥PE于点Q，根据菱形性质可得∠DAC=75°，根据折叠所得∠E=∠D=30°，结合三角形的外角定理得出∠QAP=45°，最后根据PQ=AP⋅cos45°=2【详解】解：过点A作AQ⊥PE于点Q，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，∴AB=BC=CD=AC，∠ABC=∠D=30°，∴∠DAC=1∵△CPE由△CPD沿CP折叠所得，∴∠E=∠D=30°，∴∠EPA=75°−30°=45°，∵AQ⊥PE，AP=2，∴PQ=AP⋅cos45°=2∴EQ=AQ∴PE=EQ+PQ=2故答案为：2+【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．2．（2023·广东广州·中考真题）如图，AC是菱形ABCD的对角线．

(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接BD，CE；①求证：△ABD∽△ACE；②若tan∠BAC=13【答案】(1)作法、证明见解答；(2)①证明见解答；②cos∠DCE的值是3【分析】（1）由菱形的性质可知AD=AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；（2）①由旋转得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则ABAC=ADAE，②延长AD交CE于点F，可证明ΔABC≅ΔADC，得∠BAC=∠DAC，而∠BAC=∠DAE，所以∠DAE=∠DAC，由等腰三角形的“三线合一”得AD⊥CE，则∠CFD=90°，设CF=m，CD=AD=x，则CFAF=tan∠DAC=tan∠BAC=13【详解】（1）解：如图1，△ADE就是所求的图形．．（2）证明：①如图2，由旋转得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴ABAC=AD∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．②如图2，延长AD交CE于点F，

∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADCSSS∴∠BAC=∠DAC，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAE=∠DAC，∵AE=AC，∴AD⊥CE，∴∠CFD=90°，设CF=m，CD=AD=x，∵CFAF∴AF=3CF=3m，∴DF=3m−x，∵CF∴m∴解关于x的方程得x=5∴CD=5∴cos∴cos∠DCE的值是【点睛】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如图，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S

（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG

【答案】（1）①见解析；②20；（2）32；（3）3或4或3【分析】（1）①根据矩形的性质得出∠ABE+∠CBF=90°，∠CFB=∠A=90°，进而证明∠FCB=∠ABE结合已知条件，即可证明△ABE≌△FCB；②由①可得∠FCB=∠ABE，∠CFB=∠A=90°，证明△ABE∽△FCB，得出ABCF=BE（2）根据菱形的性质得出AD∥BC，AB=BC，根据已知条件得出BE=1（3）分三种情况讨论，①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，证明△EDM∽△ECF，解Rt△DEH，进而得出MG=7，根据tan∠MEH=tan∠HGE，得出HE2=HM⋅HG，建立方程解方程即可求解；②当G点在AB边上时，如图所示，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，同理证明△ENG∽△ECM，根据tan∠FEH=tan∠M得出EH【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，则∠A=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，又∵CF⊥BC，∴∠FCB+∠CBF=90°，∠CFB=∠A=90°，∴∠FCB=∠ABE，又∵BC=BE，∴△ABE≌△FCB；②由①可得∠FCB=∠ABE，∠CFB=∠A=90°∴△ABE∽△FCB∴ABCF又∵S∴BE⋅CF=AB⋅BC=20,故答案为：20．（2）∵在菱形ABCD中，cosA=∴A