2023-2024学年高二数学上学期期末复习专题1-1空间向量与立体几何12类选填小题专练学生版

专题1-1空间向量与立体几何12类选填小题专练知识点梳理一、空间向量的基本定理1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．二、共面向量1．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb2．直线l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa.定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．3．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(―→))＝xeq\o(AB,\s\up7(―→))＋yeq\o(AC,\s\up7(―→))或eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．4．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(―→))＝xeq\o(MA,\s\up7(―→))＋yeq\o(MB,\s\up7(―→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝eq\o(OM,\s\up7(―→))＋xeq\o(MA,\s\up7(―→))＋yeq\o(MB,\s\up7(―→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OM,\s\up7(―→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(―→))∥eq\o(AB,\s\up7(―→))(或eq\o(PA,\s\up7(―→))∥eq\o(MB,\s\up7(―→))或eq\o(PB,\s\up7(―→))∥eq\o(AM,\s\up7(―→)))．三、投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．(3)向量a在平面β上的投影如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，则向量eq\o(A′B′,\s\up7(――→))(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．四、夹角问题1.两异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).注意：两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．2.直线和平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).注意：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．(2)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．3.两个平面的夹角（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).（2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？提示两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).注意：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题．(2)两平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．五、极化恒等式在三角形ABC中（M为BC的中点），则AABCM证明（基底法）：因为，所以

题型一通过基底表示目标向量在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（

）

A． B．C． D．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则A． B． C． D．如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（）

A． B．C． D．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）

A． B．C． D．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（

）A． B．C． D．如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则______．题型二空间向量的基底给出下列命题:①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基；②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基；③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面；④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基.其中真命题的个数是（）.A．1 B．2C．3 D．4设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（）A． B．C． D．已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（）A． B．C． D．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（

）A．若，则B．两两共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能构成空间的一个基底已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（

）A．0 B． C．9 D．题型三空间向量共面问题下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．（多选）下列各组向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）已知，若三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（

）A． B． C． D．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（

）A． B． C． D．题型四空间向量平行或垂直已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（

）A． B． C． D．如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（

）A． B． C． D．题型五投影问题已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（

）A． B．1 C．3 D．2四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为A． B． C． D．题型六夹角问题已知向量，若，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（

）A． B． C． D．如图，在直三棱柱中，，且，已知E为BC的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为________.在如图所示的正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．在两条异面直线，上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（

）A． B． C． D．已知在大小为的二面角中，，，于点，于点，且，则直线与所成角的余弦为（

）A． B． C． D．题型七空间向量数量积设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（

）A． B． C． D．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）A． B． C． D．在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（

）A． B． C．1 D．已知，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）

A． B． C． D．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______题型八利用空间向量求模长已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则（

）A． B．2 C． D．平行六面体中，，，则的长为（）A．10 B． C． D．平行六面体中，，，，，则向量的模长__________.已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.题型九立体图形中的极化恒等式已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为.已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为.题型十点到平面距离问题是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．题型十一利用空间向量求最值与范围如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是.（用区间表示）在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（

）A． B． C． D．题型十二综合性问题（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（

）A．三棱锥体积的最大值为B．存在点M，使平面C．点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值D．存在点M，使直线与所成的角为（多选）如图，在棱