人教A版高中数学选修3-4-1.2.5-对称变换的逆变换-课件

对称变换的逆变换准确掌握对称变换的概念。掌握对称变换的合成和其性质。了解对称变换的逆变换。教学目标【知识与能力】通过观察、操作，了解平面图形“对称”的概念推广过程。进一步了解对称变换的特点。通过实例来简绍对称变换的合成、性质和逆变换。【过程与方法】让学生从实例中体会数学概念的导出。对大量的实例进行观察，得出规律。培养合作交流意识。【情感态度与价值观】教学重难点

重点

难点对称变换的定义、性质对称变换的合成、逆变换所谓一个正多边形的两个对称变换的合成，是指先做一个对称变换，再做一个对称变换。以正方形的对称变换的合成为例，先对正方形做变换r4，再做变换ρ1，用图形表示为：1234r4ρ121344321这样，我们就得到了正方形的一个新的变换，记作ρ1r4，它对正方形的作用效果是：12344321ρ1r4

我们熟悉的数字的乘法按从左到右的顺序进行，而对称变换的合成习惯上按从右到左的顺序进行。我们发现，ρ1r4把顶点1，2，3，4依次映到了3，2，1，4；而r1也把1，2，3，4依次映到了3，2，1，4.由于正方形的对称变换由其（任意）两个顶点所唯一确定，所以ρ1r4与r1是相同的对称变换，即

ρ1r4=

r1也就是说，ρ1与r4的合成仍然是正方形的一个对称变换，而且仍然在D4中。一般地，由对称变换的定义可以知道，一个平面图形的两个对称变换a和b的合成（即先做变换a，再做变换b）仍然是这个平面图形的一个对称变换，记作ba。例

对于D3，分别求：（1）Ir1；（2）r1I；（3）r3r2；（4）r2r3；（5）r2ρ1；（6）ρ1r2.分析：我们只要根据对称变换合成的过程，分步骤完成两个变换即可。解：（1）因为123132132r1IIr1所以Ir1=r1。（2）因为123132132r1r1I所以r1I

=r1。I（3）因为123132132r3r3

r2所以r3r2

=ρ2

。r2（4）因为123132132r2r2

r3所以r2r3=ρ1

。r3（5）因为123132132r2ρ1

r2所以ρ1r2=r1。ρ1我们发现所以r2I

=r2。反过来，先做变换r2，再做恒等变换I，即123321321r2IIr2这时有Ir2=r2，于是我们有r2I=Ir2可以发现，对于任意对称变换a与恒等变换I，都有a

I=I

a成立。但是，对于集合D3中的其他变换，交换律并不一定成立。例如，从上面的例子中我们可以发现，r3

r2≠r2

r3。一般地，平面图形的对称变换的合成不满足交换律。探究数的乘法满足结合律，对称变换的合成满足结合律吗？我们以正方形的对称变换为例。先对正方形1234做变换（ρ2ρ1），再做变换ρ3，则1234412334213421ρ1ρ3ρ2ρ2

ρ1=ρ3ρ3ρ3=ρ3于是我们得到ρ3(ρ2ρ1)=ρ3若先对正方形做变换ρ1，再做变换(ρ3

ρ2)，那么123412341234ρ1ρ3ρ2(ρ3ρ2)ρ1这时我们也得到(ρ3ρ2)ρ1=ρ3，所以ρ3(ρ2ρ1)=(ρ3ρ2)ρ1从上面的讨论，我们已经看到，ρ3(ρ2ρ1)和(ρ3ρ2)ρ1对一个图形或一个点的作用都是对它先施行ρ1，再施行ρ2，最后再施行ρ3，因而ρ3(ρ2ρ1)和(ρ3ρ2)ρ1完全一样的。

一般地，我们有：若m1，m2，m3是平面图形的3个对称变换，它们之间的合成满足结合律，即m3(m2m1)=(m3m2)m1。对称变换的逆变换我们知道，互为倒数的两数之积等于1；对数函数与指数函数互为反函数。对称变换是否也可以讨论类似的问题呢？下面我们还是以正三角形的对称变换为例，来考察一下这个问题.对正三角形123先做变换ρ2，再做变换ρ1，我们有ρ1ρ2=I123223311ρ2ρ1ρ1ρ2如果对正三角形先做变换ρ1，再做变换ρ2，仍然有ρ2ρ1=I。123233112ρ1ρ2ρ2ρ1因此我们有ρ1ρ2=ρ2ρ1=I。

一般地，如果一个对称变换a与另一个对称变换b的合成等于恒等变换I，即ba=ab=I，我们就称b为a的逆变换（或a为b的逆变换），记作a-1=b（或b-1=a）。我们已经知道，两个对称变换a，b的合成ba仍然是一个对称变换.那么，这个对称变换的逆变换又是怎样的呢？由对称变换满足结合律，我们得到(a-1b-1)(ba)=a-1

(b-1b)a=a-1Ia=a-1a=I.因此，ba的逆变换是对称变换a-1b-1.课堂小结对称变换的定义；正多边形的对称变换；对称变换的合成；对称变换的性质；对称变换的逆变换。想一想长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了决定的时候，让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾